ทฤษฎีบททวินาม

ทฤษฎีนี้นำเอาความรู้เรื่องการจัดหมู่มาช่วยในการกระจายผลคูณในรูป

open parentheses x plus y close parentheses to the power of n

ทฤษฎีบท ให้

x

และ

y

เป็นจำนวนจริง และ

n

เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า

begin mathsize 14px style open parentheses x plus y close parentheses to the power of n equals open parentheses table row n row 0 end table close parentheses x to the power of n plus open parentheses table row n row 1 end table close parentheses x to the power of n minus 1 end exponent y plus open parentheses table row n row 2 end table close parentheses x to the power of n minus 2 end exponent y squared plus space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space... plus open parentheses table row n row cell n minus 1 end cell end table close parentheses x y to the power of n minus 1 end exponent plus open parentheses table row n row n end table close parentheses y to the power of n space space space space space space space space space space space space space space equals sum from k equals 0 to n of open parentheses table row n row k end table close parentheses x to the power of n minus k end exponent y to the power of k end style

โดยที่

open parentheses table row n row k end table close parentheses

เรียกว่า สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์

x to the power of n minus k end exponent y to the power of k

หมายเหตุ ทฤษฎีนี้มีที่มาจากการที่พจน์

x to the power of n minus k end exponent y to the power of k

เกิดจากการเลือก

y

มา

k

ตัว
จาก

k

พจน์ในผลคูณ

open parentheses x plus y close parentheses to the power of n equals open parentheses x plus y close parentheses... left parenthesis x plus y right parenthesis

ซึ่งมีจำนวนวิธีเท่ากับ

open parentheses table row n row k end table close parentheses

วิธี
นั่นคือ

n

พจน์ เลือกมา

k

พจน์

ทฤษฎีนี้สามารถนำเอาสามเหลี่ยมปาสคาลมาช่วยในการจำ และ ทำความเข้าใจ โดย
สัมประสิทธ์ทวินามของ

open parentheses x plus y close parentheses to the power of n

จะอยู่ในแถวที่

n plus 1

ซึ่งเราสามารถสังเกตุเห็นได้ว่าตัวเลขที่ติดกันจะรวมกันได้ตัวเลขตรงกลางในแถวถัดไปเสมอ

ตัวอย่าง

ให้

x

และ

y

เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า

begin mathsize 14px style open parentheses 2 x minus y close parentheses to the power of 4 equals open parentheses table row 4 row 0 end table close parentheses open parentheses 2 x close parentheses to the power of 4 open parentheses negative y close parentheses to the power of 0 plus open parentheses table row 4 row 1 end table close parentheses open parentheses 2 x close parentheses cubed open parentheses negative y close parentheses to the power of 1 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space plus open parentheses table row 4 row 2 end table close parentheses open parentheses 2 x close parentheses squared open parentheses negative y close parentheses squared plus open parentheses table row 4 row 3 end table close parentheses open parentheses 2 x close parentheses to the power of 1 open parentheses negative y close parentheses cubed space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space plus open parentheses table row 4 row 4 end table close parentheses open parentheses 2 x close parentheses to the power of 0 open parentheses negative y close parentheses to the power of 4 space space space space space space space space space space space space space space equals 16 x to the power of 4 minus 32 x squared y plus 24 x squared y squared minus 8 x y cubed plus y to the power of 4 end style