วิธีจัดหมู่

การจัดกลุ่มของสิ่งของที่
แตกต่างกันทั้งหมด

เมื่อเราต้องการเลือกตัวอักษร A, B, C และ D มา 3 ตัวเพื่อเรียงแถวหน้ากระดาน จากหัวข้อก่อนหน้านี้เราสามารถทำได้

P subscript 4 comma 3 end subscript space equals space 4 x 3 x 2 space equals space 24 space

แบบ ดังแสดงได้ในตารางต่อไปนี้

ABC	ACB	BCA	BAC	CAB	CBA
ABD	ADB	BAD	BDA	DAB	DBA
ACD	ACD	CAD	CDA	DAC	DCA
BCD	BDC	CBD	CDB	DBC	DCB

จากการเรียงทั้ง 24 แบบนี้ หากเราไม่สนใจลำดับของตัวอักษร แต่เพียงสนใจว่าตัวอักษรใดบ้างที่ถูกเลือกมา จะพบว่ามีการเรียงจำนวนหนึ่งในตารางนี้ที่ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน เช่น ABC, ACB, BCA, BAC, CAB และ CBA ซึ่งการเรียงทั้งหมดนี้ถูกมองว่าเป็นวิธีการเดียวกันเนื่องจากมีตัวอักษร A, B และ C เหมือนกัน

จากตารางข้างต้นเราพบว่า การเรียงในแถวเดียวกันของตารางจะมาจากการเลือกตัวอักษรที่เหมือนกัน นั่นคือ หากเราต้องการหาวิธีที่แตกต่างกันของการเลือกตัวอักษร 3 ตัวจาก 4 ตัวนี้ เราสามารถหาได้จากการนำการเรียงตัวเลขของแต่ละแถวมาหนึ่งตัวแล้วเขียนให้อยู่ในรูปของเซต จะได้การเลือกดังนี้ {A, B, C}, {A, B, D}, {A, C, D} และ {B, C, D} สังเกตว่าจำนวนวิธีการเลือกตัวอักษรจะเท่ากับจำนวนแถวของตาราง

จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถคำนวณในกรณีทั่วไปในการหาจำนวนวิธีการเลือกสิ่งของ r สิ่งจาก n สิ่งได้ โดยการเรียงตัวอักษร r ตัวจาก n ตัว ที่มีทั้งหมด
P_n,r วิธีนี้ มาใส่ในตาราง
โดยที่การเรียงตัวอักษรที่ถูกเลือกมาเหมือนกันให้อยู่ในแถวเดียวกันของตาราง ทำให้แต่ละแถวมีสมาชิก r! ตัวซึ่งเกิดจากการเรียงของ r สิ่ง จำนวนวิธีการเลือกจะมีค่าเท่ากับจำนวนแถวของตาราง ซึ่งหาได้ดังนี้

จำนวนวิธีการเลือกของ = จำนวนแถวของตาราง
r สิ่งจาก n สิ่ง = (จำนวนการเรียงทั้งหมด)/
(จำนวนสมาชิกในแต่ละแถว)
= P_n_,r /r!
นั่นคือมีการเลือกตัวอักษรที่แตกต่างกัน
n!/(n-r)!r! วิธีนั่นเอง
ในที่นี้เราใช้สัญลักษณ์ C_n,r เพื่อแทนจำนวนวิธีการเลือกสิ่งของ r สิ่งจาก n สิ่งโดยไม่สนใจลำดับ
ซึ่งจะได้ C_n,r₌ n!/(n-r)!r!

แบบฝึกหัด