การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น II

สิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

กำหนดให้มีตัวอักษร 4 ตัว ซึ่งในที่นี้เราให้มีอักษรซ้ำกันคือ A, A และ B, B เมื่อนำตัวอักษรเหล่านี้มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น จะสามารถทำได้ดังนี้ AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA และ BBAA

อย่างไรก็ตาม เมื่อเราหยิบการเรียงด้านบนแต่ละตัวมาทำให้ตัวอักษรทั้งหมดมีความแตกต่างกันจะสามารถได้วิธีที่แตกต่างกันมากยิ่งขึ้น

ตัวแตกต่างกันคือ A₁ , A₂ และ B₁ , B₂ จะทำให้การเรียง AABB แตกต่างกันออกไปเป็น 4 วิธีดังแสดงในแถวที่ 1 ของตารางด้านล่าง เมื่อเราทำเช่นเดียวกันกับการเรียง 5 วิธีที่เหลือเราจะได้วิธีที่แตกต่างกันในแต่ละแถวของตารางตามลำดับ

$begin mathsize 14px style A subscript 1 A subscript 2 B subscript 1 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 1 A subscript 2 B subscript 2 B subscript 1 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 2 A subscript 1 B subscript 1 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 2 A subscript 1 B subscript 2 B subscript 1 end style$
$begin mathsize 14px style A subscript 1 B subscript 1 A subscript 2 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 1 B subscript 1 A subscript 2 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 2 B subscript 1 A subscript 1 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 2 B subscript 2 A subscript 1 B subscript 1 end style$
$begin mathsize 14px style A subscript 1 B subscript 1 B subscript 2 A subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 1 B subscript 2 B subscript 1 A subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 2 B subscript 1 B subscript 2 A subscript 1 end style$	$begin mathsize 14px style A subscript 2 B subscript 2 B subscript 1 A subscript 1 end style$
$begin mathsize 14px style B subscript 1 A subscript 1 A subscript 2 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 2 A subscript 1 A subscript 2 B subscript 1 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 1 A subscript 2 A subscript 1 B subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 2 A subscript 2 A subscript 1 B subscript 1 end style$
$begin mathsize 14px style B subscript 1 A subscript 1 B subscript 2 A subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 2 A subscript 1 B subscript 1 A subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 1 A subscript 2 B subscript 2 A subscript 1 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 2 A subscript 2 B subscript 1 A subscript 1 end style$
$begin mathsize 14px style B subscript 1 B subscript 2 A subscript 1 A subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 2 B subscript 1 A subscript 1 A subscript 2 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 1 B subscript 2 A subscript 2 A subscript 1 end style$	$begin mathsize 14px style B subscript 2 B subscript 1 A subscript 2 A subscript 1 end style$

พบว่า การเรียงแต่ละวิธีในตารางนี้แตกต่างกันทั้งหมดและมีจำนวน 24 วิธี ซึ่งอันที่จริงแล้วการเรียงเหล่านี้เกิดจากการเรียงตัวอักษร 4 ตัวที่แตกต่างกันทั้งหมดนั่นเอง

นั่นคือ จำนวนการเรียงตัวอักษร 4 ตัวที่แตกต่างกันทั้งหมดมีจำนวนวิธีเท่ากับการเรียง A, A, B, B คูณกับ 2!2! ซึ่ง 2! แต่ละตัวมาจากการเรียงแนวเส้นตรงของตัวอักษร A ทั้งสองตัว และตัวอักษร B ทั้งสองตัวตามลำดับ

โดยทั่วไป หากเรามีสิ่งของอยู่ n สิ่งซึ่งในบรรดา n สิ่งนี้สามารถแบ่งออกได้เป็น k กลุ่มของสิ่งของที่แตกต่างกันแต่ของที่อยู่ในกลุ่มเดียวกันไม่มีความแตกต่างกัน
โดยกำหนดให้ กลุ่มที่หนึ่งมีของ n₁ สิ่ง
กลุ่มที่สองมีของ n₂ สิ่ง
จนถึงกลุ่มที่ k มีของ n_k สิ่ง
สังเกตว่า n₁ + n₂ + …n_k =

จากตัวอย่างข้างต้นถ้าเรากำหนดให้การเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรงของสิ่งของเหล่านี้มีค่าเท่ากับ x วิธี เมื่อนำแต่ละวิธีเหล่านี้มาเรียงสับเปลี่ยนโดยให้สิ่งของแต่ละสิ่งในกลุ่มเดียวกันมีความแตกต่างกันจะเรียงได้เป็น
n₁!n₂!... n_k!x วิธี

อย่างไรก็ตามการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งนี้โดยให้สิ่งของแต่ละสิ่งในกลุ่มเดียวกันมีความแตกต่างกัน
คือ การเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรงของสิ่งของ n สิ่งนั่นเอง ซึ่งมีค่าเท่ากับ n! ดังนั้น

n subscript 1 factorial n subscript 2 factorial... n subscript k factorial x space equals space n factorial

space space space space space space space space space space space space space space space space space space space x space equals space n factorial divided by space n subscript 1 factorial n subscript 2 factorial... n subscript k factorial

เราจึงสรุปได้ว่า หากเรามีสิ่งของอยู่ n สิ่งซึ่งในบรรดา n สิ่งนี้สามารถแบ่งออกได้เป็น k กลุ่มของสิ่งของที่แตกต่างกันแต่ของที่อยู่ในกลุ่มเดียวกันไม่มีความแตกต่างกัน
โดยกำหนดให้
กลุ่มที่หนึ่งมีของ n₁ สิ่ง
กลุ่มที่สองมีของ n₂ สิ่ง
จนถึงกลุ่มที่ k มีของ n_k สิ่ง
จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของทั้งหมดนี้จะมีค่าเท่ากับ
n!/ n₁!n₂!...n_k! วิธี

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น II

แบบฝึกหัด

การเรียงสับเปลี่ยนที่มีสิ่งของซ้ำกัน

การเรียงสับเปลี่ยนที่มีสิ่งของซ้ำกัน

การเรียงสับเปลี่ยนที่มีสิ่งของซ้ำกัน

เนื้อหา

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น II

สิ่งของที่ไม่แตกต่างกันทั้งหมด

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ