การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

ในการเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรงของตัวอักษร A, B และ C
ทั้ง 3 ตัว เราสามารถทำได้ 3! = 6 วิธี ดังแสดงได้ต่อไปนี้

จากนั้นนำการเรียงแต่ละวิธีนี้มาเรียงเชิงวงกลมโดยคงลำดับของการเรียงแต่ละวิธีไว้ เช่น
การเรียง ABC สามารถเรียงเชิงวงกลมได้เป็น

ส่วนการเรียงแนวเส้นตรง BCA และ CAB สามารถนำมาเรียงเชิงวงกลมได้ดังรูปสองรูปด้านล่างตามลำดับดังนี้

จะเห็นว่าการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมทั้งสามรูปนี้เป็นวิธีการเดียวกัน

ดังนั้น การเรียงแนวเส้นตรง ABC, BCA และ CAB ให้
การเรียงเชิงวงกลมวิธีการเดียวกัน

ในทำนองเดียวกันการเรียง ACB, CBA และ BAC ก็ให้การเรียงเชิงวงกลมวิธีการเดียวกัน

สังเกตว่าการเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรงแต่ละวิธีที่ให้วิธีการเรียงเชิงวงกลมเป็นแบบเดียวกันนั้นเกิดจากการย้ายตัวอักษรตำแหน่งที่ 1 ไปยังตำแหน่งสุดท้ายของ
การเรียงแนวเส้นตรงเดียวกัน เช่น ABC เมื่อเลื่อน A ไปตำแหน่งสุดท้ายจะได้ BCA มากไปกว่านั้นถ้าเราดำเนินการนี้ซ้ำอีกหนึ่งครั้งบน BCA จะได้การเรียง CAB แต่เมื่อดำเนินการซ้ำอีกหนึ่งครั้งบน CAB เราจะกลับมาที่การเรียง ABC ตอนเริ่มต้น

จากข้อสังเกตนี้ เราจะให้การเรียงแนวเส้นตรง 2 วิธีใดๆ ที่เมื่อดำเนินการย้ายตำแหน่งแรกไปตำแหน่งสุดท้ายอย่างน้อยหนึ่งครั้งแล้วได้รับการเรียงอีกวิธีหนึ่งว่าเป็นการเรียงในกลุ่มเดียวกัน

ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรง
A, B และ C สามารถแบ่งออกได้ 2 กลุ่มซึ่งสามารถเขียนได้ในรูปของเซต คือ {ABC, BCA, CAB} และ {ACB, CBA, BAC} ซึ่งการเรียงในกลุ่มเดียวกันจะให้การเรียงเชิงวงกลมแบบเดียวกัน
แต่การเรียงคนละกลุ่มกันจะให้การเรียงเชิงวงกลมที่แตกต่างกัน

สังเกตว่าหากการเรียงแนวเส้นตรงมีตัวอักษร n ตัวจะสามารถดำเนินการสลับตำแหน่งดังกล่าวได้ n-1 ครั้ง และได้การเรียงแนวเส้นตรงที่ต่างกัน n แบบ

เนื่องจากเมื่อดำเนินการซ้ำเป็นครั้งที่ n เราจะได้การเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรงตัวแรกที่เราเริ่มการดำเนินการ ทำให้การเรียงแนวเส้นตรงสิ่งของ n สิ่งสามารถแบ่งกลุ่มด้วยวิธีข้างต้นได้กลุ่มละ n สมาชิก

เนื่องจากจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งแนวเส้นตรงทำได้ n! วิธี
เราจึงแบ่งกลุ่มการเรียงเหล่านี้ได้
n!/n = (n-1)! กลุ่มซึ่ง จำนวนกลุ่มคือจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งเชิงวงกลมนั่นเอง