เมตริกซ์ผกผัน (Inverse of a Matrix)

ในระบบจำนวนจริง ถ้า a ไม่ใช่ศูนย์แล้ว จะมีจำนวนจริง b ซึ่ง ab = ba = 1 เราเรียกจำนวนจริง b นี้ว่า
ตัวผกผันการคูณของ a เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $a to the power of negative 1 end exponent$ ทำนองเดียวกัน สำหรับเมตริกซ์จตุรัส A จะมีบาง
เมตริกซ์ ที่สามารถหาเมตริกซ์จตุรัส B ขนาดเดียวกันกับ A ซึ่ง AB = BA = I คือ B เป็นเมตริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A^-1

นิยาม 1 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด $n to the power of x n$ ถ้ามีเมตริกซ์ B ขนาด $n to the power of x n$ ซึ่ง

AB = BA = I เมื่อ I คือเมตริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด

n to the power of x n

แล้วจะกล่าวได้ว่า เมตริกซ์ A
เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Nonsingular Matrix) หรือ เมตริกซ์ซึ่งหาเมตริกซ์ผกผันได้ และกล่าวว่า
เมตริกซ์ B เป็นเมตริกซ์ผกผันของ A

ตัวอย่าง 1 ถ้าเมตริกซ์ $A space equals open square brackets table row 2 1 row 1 1 end table close square brackets space space space B equals open square brackets table row 1 cell negative 1 end cell row cell negative 1 end cell 2 end table close square brackets$

$A B space equals open square brackets table row 2 1 row 1 1 end table close square brackets open square brackets table row 1 cell negative 1 end cell row cell negative 1 end cell 2 end table close square brackets space equals space open square brackets table row 1 0 row 0 1 end table close square brackets equals I B A space equals space open square brackets table row 1 cell negative 1 end cell row cell negative 1 end cell 2 end table close square brackets open square brackets table row 2 1 row 1 1 end table close square brackets space equals open square brackets table row 1 0 row 0 1 end table close square brackets space equals I$

จะเห็นว่า A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน และ B
เป็นเมตริกซ์ผกผันของ A คือ A^-1 = B

หมายเหตุ
1. ถ้า A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Matrix) A จะมีเมตริกซ์ผกผันเพียงเมตริกซ์เดียว เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A^-1 ซึ่งเครื่องหมาย –1 ไม่ใช่เลขชี้กำลัง และ A^-1 ไม่ใช่ส่วนกลับของ A
2. ในระบบจำนวนจริง ถ้า a ไม่เป็นศูนย์ จะสามารถหาค่า a^-1 ได้ทุกตัว แต่สำหรับเมตริกซ์ ไม่จำเป็นต้องหาค่า เมตริกซ์ผกผัน ได้ทุกตัว เช่น
$A B space equals open square brackets table row 1 1 row 0 0 end table close square brackets open square brackets table row cell b subscript 11 end cell cell b subscript 12 end cell row cell b subscript 21 end cell cell b subscript 22 end cell end table close square brackets equals open square brackets table row cell b subscript 11 plus b subscript 21 end cell cell b subscript 12 plus b subscript 22 end cell row 0 0 end table close square brackets$
ให้ $A space equals open square brackets table row 1 1 row 0 0 end table close square brackets$ และ $B space equals open square brackets table row cell b subscript 11 end cell cell b subscript 12 end cell row cell b subscript 21 end cell cell b subscript 22 end cell end table close square brackets$

จะเห็นว่าถ้าเลือกค่า b₁₁, b₁₂, b₂₁, b₂₂ เป็นค่าใดก็ตามค่า AB ไม่มีทางเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ I ได้ คือ A ไม่มีเมตริกซ์ผกผัน ซึ่งอาจกล่าวได้ว่า A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix)

การหาเมตริกซ์ผกผันโดยวิธีผูกพัน (Inverse by Adjoint Method)

นิยาม 2 เมตริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix)

ถ้า $A space equals open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell cell a subscript 13 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell cell a subscript 23 end cell row cell a subscript 31 end cell cell a subscript 32 end cell cell a subscript 33 end cell end table close square brackets$

จะหาโคแฟคเตอร์เมตริกซ์ของ A ได้ (จากนิยาม 2) เป็น

$c o f space A equals open square brackets table row cell A subscript 11 end cell cell A subscript 12 end cell cell A subscript 13 end cell row cell A subscript 21 end cell cell A subscript 22 end cell cell A subscript 23 end cell row cell A subscript 31 end cell cell A subscript 32 end cell cell A subscript 33 end cell end table close square brackets$

และเมตริกซ์ผูกพันของ A คือการทรานสโพส โคแฟกเตอร์เมตริกซ์ของ A คือ

$A d j space A space equals open square brackets c o f space A close square brackets to the power of T$

ทฤษฎีบท 1 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nxn

ถ้า det A $not equal to$ 0 แล้ว

A to the power of negative 1 end exponent equals open square brackets fraction numerator 1 over denominator d e t space A end fraction close square brackets a d j space A

หมายเหตุ ถ้า

A space equals open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell end table close square brackets

แล้ว

A d j space A space equals open square brackets table row cell A subscript 11 end cell cell A subscript 12 end cell row cell A subscript 21 end cell cell A subscript 22 end cell end table close square brackets to the power of T space space space space space space space space space space space space equals open square brackets table row cell a subscript 22 end cell cell negative a subscript 21 end cell row cell negative a subscript 12 end cell cell a subscript 11 end cell end table close square brackets to the power of T equals open square brackets table row cell a subscript 22 end cell cell negative a subscript 12 end cell row cell negative a subscript 21 end cell cell a subscript 11 end cell end table close square brackets

จะได้

A to the power of negative 1 end exponent equals fraction numerator 1 over denominator d e t space A end fraction open square brackets table row cell a subscript 22 end cell cell negative a subscript 12 end cell row cell negative a subscript 21 end cell cell a subscript 11 end cell end table close square brackets

ทฤษฎีบท 2 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด n x n

จะกล่าวว่า A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-Singular Matrix) ก็ต่อเมื่อ
det A $not equal to$ 0 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix) ก็ต่อเมื่อ det A = 0

ตัวอย่าง 2 จงหาอินเวอร์สของ $A equals open square brackets table row 1 4 row 2 10 end table close square brackets$

วิธีทำ เมื่อ det A = 10 – 8 = 2 ดังนั้นจะได้
$A to the power of negative 1 end exponent equals 1 half open square brackets table row 10 cell negative 4 end cell row cell negative 2 end cell 1 end table close square brackets equals open square brackets table row 5 cell negative 2 end cell row cell negative 1 end cell cell 1 half end cell end table close square brackets$
ตรวจสอบ
$A A to the power of negative 1 end exponent equals open square brackets table row 1 4 row 2 10 end table close square brackets open square brackets table row 5 cell negative 2 end cell row cell negative 1 end cell cell 1 half end cell end table close square brackets space space space space space space space space space space equals open square brackets table row cell 5 minus 4 end cell cell negative 2 plus 2 end cell row cell 10 minus 10 end cell cell negative 4 plus 5 end cell end table close square brackets space space space space space space space space space space equals open square brackets table row 1 0 row 0 1 end table close square brackets$
$A to the power of negative 1 end exponent A space equals open square brackets table row 5 cell negative 2 end cell row cell negative 1 end cell cell 1 half end cell end table close square brackets open square brackets table row 1 4 row 2 10 end table close square brackets space space space space space space space space space space space equals open square brackets table row cell 5 minus 4 end cell cell 20 minus 20 end cell row cell negative 1 plus 1 end cell cell negative 4 plus 5 end cell end table close square brackets space space space space space space space space space space space space equals open square brackets table row 1 0 row 0 1 end table close square brackets$

ตัวอย่าง 3 จงหาอินเวอร์สของ $A space equals open square brackets table row 2 2 0 row cell negative 2 end cell 1 1 row 3 0 1 end table close square brackets$

วิธีทำ เมื่อ det A = 12 , เราสามารถหา A^-1ได้จาก ค่าโคแฟกเตอร์ $C subscript 11 equals open vertical bar table row 1 1 row 0 1 end table close vertical bar equals 1 space space space space space space space space space space space C subscript 12 equals negative open vertical bar table row cell negative 2 end cell 1 row 3 1 end table close vertical bar equals 5 space space space space space space C subscript 13 equals open vertical bar table row cell negative 2 end cell 1 row 3 0 end table close vertical bar equals negative 3 C subscript 21 equals negative open vertical bar table row 2 0 row 0 1 end table close vertical bar equals negative 2 space space space space C subscript 22 equals open vertical bar table row 2 0 row 3 1 end table close vertical bar equals 2 space space space space space space space space space space space space C subscript 23 equals negative open vertical bar table row 2 2 row 3 0 end table close vertical bar equals 6 C subscript 31 equals open vertical bar table row 2 0 row 1 1 end table close vertical bar equals 2 space space space space space space space space space space space C subscript 32 equals negative open vertical bar table row 2 0 row cell negative 2 end cell 1 end table close vertical bar equals negative 2 space space space C subscript 33 equals open vertical bar table row 2 2 row cell negative 2 end cell 1 end table close vertical bar equals 6$ $blank$

ดังนั้น $A to the power of negative 1 end exponent equals 1 over 12 open square brackets table row 1 cell negative 2 end cell 2 row 5 2 cell negative 2 end cell row cell negative 3 end cell 6 6 end table close square brackets space space space space space space space equals open square brackets table row cell 1 over 12 end cell cell negative 1 over 6 end cell cell 1 over 6 end cell row cell 5 over 12 end cell cell 1 over 6 end cell cell negative 1 over 6 end cell row cell negative 1 fourth end cell cell 1 half end cell cell 1 half end cell end table close square brackets$

ทฤษฎีบท 3 คุณสมบัติของเมตริกซ์ผกผัน

ให้ A, B เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน และ c เป็นสเกลลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์

(A^-1)^-1 = A
(AB)^-1 = B^-1A^-1
(A^T)^-1 = (A^-1)^T
(cA)^-1 = $1 over c$ A^-1
ถ้า A = $open square brackets table row cell a subscript 11 end cell 0 horizontal ellipsis 0 row 0 cell a subscript 22 end cell horizontal ellipsis 0 row horizontal ellipsis horizontal ellipsis blank vertical ellipsis row 0 0 horizontal ellipsis cell a subscript n n end subscript end cell end table close square brackets$ แล้วจะได้

A^-1 $equals open square brackets table row cell 1 over a subscript 11 end cell 0 horizontal ellipsis 0 row 0 cell 1 over a subscript 22 end cell horizontal ellipsis 0 row horizontal ellipsis horizontal ellipsis blank vertical ellipsis row 0 0 horizontal ellipsis cell 1 over a subscript n n end subscript end cell end table close square brackets$ $a i j not equal to 0$

ถ้า A มีอินเวอร์ส และ AB = AC แล้ว B = C
ถ้า A มีอินเวอร์ส และ AB = 0 แล้ว B = 0
ถ้า A เป็นเมตริกซ์เอกฐานแล้ว AB และ BA เป็นเมตริกซ์เอกฐานด้วย
ถ้า AB =0 และ A 0 , B 0 แล้ว A และ B ไม่มีอินเวอร์ส

เมทริกซ์ผกผัน

แบบฝึกหัด

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน

เนื้อหา

เมตริกซ์ผกผัน (Inverse of a Matrix)

การหาเมตริกซ์ผกผันโดยวิธีผูกพัน (Inverse by Adjoint Method)

ทฤษฎีบท 1 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nxn

ถ้า det A $not equal to$ 0 แล้ว

ทฤษฎีบท 2 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด n x n

ทฤษฎีบท 3 คุณสมบัติของเมตริกซ์ผกผัน

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ

เมทริกซ์ผกผัน

แบบฝึกหัด

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ผกผัน

เนื้อหา

เมตริกซ์ผกผัน (Inverse of a Matrix)

การหาเมตริกซ์ผกผันโดยวิธีผูกพัน (Inverse by Adjoint Method)

ทฤษฎีบท 1 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nxn

ถ้า det A0 แล้ว

ทฤษฎีบท 2 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด n x n

ทฤษฎีบท 3 คุณสมบัติของเมตริกซ์ผกผัน

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ

ถ้า det A $not equal to$ 0 แล้ว