ตัวกำหนด (Determinant)

ตัวกำหนดหรือดีเทอร์มินันต์ คือ จำนวนเลขค่าหนึ่ง ๆ ที่เป็นคุณสมบัติของเมตริกซ์จตุรัสใด ๆ ซึ่งจะเป็นตัวกำหนดหรือบอกได้ว่า เมตริกซ์นั้นๆ มีค่าผกผันหรือไม่ นอกจากนี้ค่า
ดีเทอร์มินันต์ ยังใช้ในสูตรคำนวณหาค่าเมตริกซ์ผกผัน และ สูตรคำนวณแก้สมการ AX = B อีกด้วย

การหาดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ขนาด (1 x 1) , (2 x 2) และ (3 x 3)

นิยาม 1 ให้ A = [a_ij] เป็นเมตริกซ์จตุรัสมีมิติ
(n x n) ค่าดีเทอร์มินันต์ ของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ | A | หรือ det A สามารถหาได้ดังนี้

ถ้า A มีมิติ (1x1)

$open vertical bar A close vertical bar space equals open vertical bar a subscript 11 close vertical bar space equals a subscript 11$

ถ้า A มีมิติ (2x2)

$A space equals open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell end table close square brackets space space space d e t space A space equals space open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell end table close square brackets space space space space space space space space space equals a subscript 11 a subscript 22 minus a subscript 21 a subscript 12$

หลักการจำ
นำสมาชิกในแนวทแยงมุมจากซ้ายลงมาคูณกันลบด้วยสมาชิกจากซ้ายขึ้นไปคูณกัน

ถ้า A มีมิติ (3 x 3)

$A space equals open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell cell a subscript 13 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell cell a subscript 23 end cell row cell a subscript 31 end cell cell a subscript 32 end cell cell a subscript 33 end cell end table close square brackets space space space d e t space A space equals open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell cell a subscript 13 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell cell a subscript 23 end cell row cell a subscript 31 end cell cell a subscript 32 end cell cell a subscript 33 end cell end table close square brackets space space space space space space space space space space equals space space open parentheses a subscript 11 a subscript 22 a subscript 33 plus a subscript 12 a subscript 23 a subscript 31 plus a subscript 13 a subscript 32 a subscript 21 close parentheses space space space space space space space space space space space minus open parentheses a subscript 13 a subscript 22 a subscript 31 plus a subscript 23 a subscript 32 a subscript 11 plus a subscript 33 a subscript 21 a subscript 12 close parentheses$

หลักการจำ โดยการนำสมาชิกสดมภ์ที่ 1 และ 2 มาเขียนต่อท้ายสดมภ์ที่ 3 แล้วใช้การคูณทแยง โดยการคูณลงเป็นบวก คูณขึ้นเป็นลบ ดังนี้

$equals space open parentheses a subscript 11 a subscript 22 a subscript 33 plus a subscript 12 a subscript 23 a subscript 31 plus a subscript 13 a subscript 21 a subscript 32 close parentheses space space minus open parentheses a subscript 31 a subscript 22 a subscript 13 plus a subscript 32 a subscript 23 a subscript 11 plus a subscript 33 a subscript 21 a subscript 12 close parentheses$

การหาดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์จตุรัสขนาดทั่วไป

นิยาม 2 ให้ A = $open vertical bar a subscript i j end subscript close vertical bar$ เป็นเมตริกซ์จตุรัส มีมิติ
(n x n) แล้ว $M subscript i j end subscript$ เป็น Submatrix ที่เกิดจากการลบแถวที่ i กับสดมภ์ที่ j ของ A ซึ่งเรียกว่า Minor ลำดับที่ ij ของ A หรือ Minor ของสมาชิก $a subscript i j end subscript$ เช่น
_{$M subscript 12$} เป็น Minor ของ $a subscript 12$ โดยการตัดสมาชิกแถวที่ 1 สดมภ์ที่ 2 ของเมตริกซ์ A ออก จะได้เมตริกซ์ _{$M subscript 12$} เป็นต้น

$A subscript i j end subscript$ คือ Cofactor ลำดับที่ ij ของ A ซึ่งเป็นจำนวนเลขที่มีค่า = $open parentheses negative 1 close parentheses to the power of i plus j end exponent open vertical bar M subscript i j end subscript close vertical bar$
คือ $A subscript i j end subscript$ = $open vertical bar M subscript i j end subscript close vertical bar$   เมื่อ i+j เป็นเลขคู่ และ
$A subscript i j end subscript$ = - $open vertical bar M subscript i j end subscript close vertical bar$   เมื่อ i+j เป็นเลขคี่จะได้ค่าดีเทอร์มินันต์ของ A หรือ det A คือ
ผลรวมของ $a subscript i j end subscript space A subscript i j end subscript$   กระจายตามแถวใดแถวหนึ่ง หรือ สดมภ์ใดสดมภ์หนึ่งของเมตริกซ์ A เช่น

A space equals open square brackets table row cell a subscript 11 end cell cell a subscript 12 end cell cell a subscript 13 end cell row cell a subscript 21 end cell cell a subscript 22 end cell cell a subscript 23 end cell row cell a subscript 31 end cell cell a subscript 32 end cell cell a subscript 33 end cell end table close square brackets

det A =

a subscript 11 A subscript 11 plus a subscript 12 A subscript 12 plus a subscript 13 A subscript 13

(ตามแถวที่ 1)
หรือ =

a subscript 12 A subscript 12 plus a subscript 22 A subscript 22 plus a subscript 32 A subscript 32

(ตามสดมภ์ที่ 2) เป็นต้น

จะแสดงการหาค่า

A subscript 11

เป็นตัวอย่าง ดังนี้
จาก

A subscript 11

open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 plus 1 end exponent open vertical bar M subscript 11 close vertical bar

ซึ่ง

blank

equals open parentheses negative 1 close parentheses squared open vertical bar table row cell a subscript 22 end cell cell a subscript 23 end cell row cell a subscript 32 end cell cell a subscript 33 end cell end table close vertical bar space equals plus a subscript 22 a subscript 33 minus a subscript 32 a subscript 23

หลักการจำ เครื่องหมายของ

A subscript i j end subscript

สามารถเขียนเป็นตาราง เพื่อให้จำง่าย ดังนี้

3x3 4x4 nxnเช่น $A subscript 23 A subscript 23 space end subscript space equals negative open vertical bar M subscript 23 close vertical bar$ $A subscript 44 A subscript 44 space end subscript equals space plus open vertical bar M subscript 44 close vertical bar$ เป็นต้น

ตัวอย่าง 1 ให้หาค่าโคแฟคเตอร์กระจายตามแถวที่ 2 และกระจายตามหลักที่ 3 ของเมตริกซ์
$A space equals open square brackets table row 1 cell negative 1 end cell 0 row cell negative 6 end cell 3 5 row 2 cell negative 3 end cell cell negative 4 end cell end table close square brackets$

วิธีทำ
ค่าโคแฟคเตอร์กระจายตามแถวที่ 2 คือ
$a subscript 21 A subscript 21 plus a subscript 22 A subscript 22 plus a subscript 23 A subscript 23 equals open parentheses negative 6 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 1 end exponent open vertical bar table row cell negative 1 end cell 0 row cell negative 3 end cell cell negative 4 end cell end table close vertical bar plus open parentheses 3 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 2 end exponent open vertical bar table row 1 0 row 2 cell negative 4 end cell end table close vertical bar space space space space plus open parentheses 5 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 3 end exponent open vertical bar table row 1 cell negative 1 end cell row 2 cell negative 3 end cell end table close vertical bar equals open parentheses negative 6 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses 4 close parentheses plus open parentheses 3 close parentheses open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 4 close parentheses plus open parentheses 5 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses equals 17$

ค่าโคแฟคเตอร์กระจายตามหลักที่ 3 คือ
$a subscript 21 A subscript 21 plus a subscript 22 A subscript 22 plus a subscript 23 A subscript 23 equals open parentheses 0 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 plus 3 end exponent open vertical bar table row cell negative 6 end cell 3 row 2 cell negative 3 end cell end table close vertical bar plus open parentheses 5 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 3 end exponent open vertical bar table row 1 cell negative 1 end cell row 2 cell negative 3 end cell end table close vertical bar space space space space space plus open parentheses negative 4 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 3 plus 3 end exponent open vertical bar table row 1 cell negative 1 end cell row cell negative 6 end cell 3 end table close vertical bar equals open parentheses 0 close parentheses open parentheses 1 close parentheses open parentheses 12 close parentheses plus open parentheses 5 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses plus open parentheses negative 4 close parentheses open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 3 close parentheses equals 17$

ตัวอย่าง 2 จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ $A space equals open square brackets table row 2 4 7 row 6 0 3 row 1 5 3 end table close square brackets$

วิธีทำ
ใช้การกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่ 1
$d e t space A space equals open vertical bar table row 2 4 7 row 6 0 3 row 1 5 3 end table close vertical bar space space space space space space space space space space space space equals space 2 C subscript 11 plus 4 C subscript 12 plus 7 C subscript 13$
และ

ดังนั้น $d e t space A space equals 2 open vertical bar table row 0 3 row 5 3 end table close vertical bar minus 4 open vertical bar table row 6 3 row 1 3 end table close vertical bar plus 7 open vertical bar table row 6 0 row 1 5 end table close vertical bar space space space space space space space space space space space equals 2 open parentheses 0 minus 15 close parentheses minus 4 open parentheses 18 minus 3 close parentheses plus 7 open parentheses 30 minus 0 close parentheses space space space space space space space space space space space equals 120$

ถ้าเมตริกซ์มีแถวหรือหลักที่มีสมาชิกเป็นศูนย์มากๆ แล้วควรจะเลือกกระจายโคแฟกเตอร์ในแถวหรือหลักนั้น ดังตัวอย่างที่กล่าวมาแล้ว ควรเลือกกระจายในแถวหรือหลักที่ 2 เช่น ถ้าเลือกกระจายในแถวที่ 2 จะได้

d e t space A space equals 6 C subscript 21 plus 0 C subscript 22 plus 3 C subscript 23 space space space space space space space space space equals 6 C subscript 21 plus 3 C subscript 23 space space space space space space space space space equals 6 open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 plus 2 end exponent open vertical bar table row 4 7 row 5 3 end table close vertical bar plus 3 open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 3 end exponent open vertical bar table row 2 4 row 1 5 end table close vertical bar space space space space space space space space space equals negative 6 open parentheses negative 23 close parentheses minus 3 open parentheses 6 close parentheses space space space space space space space space space equals 120

ตัวอย่าง 3 จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ $A space equals open square brackets table row 6 5 0 row cell negative 1 end cell 8 cell negative 7 end cell row cell negative 2 end cell 4 0 end table close square brackets$

วิธีทำ
เนื่องจากหลักที่ 3 มี ศูนย์ 2 ตัว จึงควรเลือกกระจายโคแฟกเตอร์ในหลักที่ 3 ดังนี้
$d e t space A space equals open vertical bar table row 6 5 0 row cell negative 1 end cell 8 7 row cell negative 2 end cell 4 0 end table close vertical bar space space space space space space space space space equals 0 C subscript 13 plus open parentheses negative 7 close parentheses C subscript 23 plus 0 C subscript 33 space space space space space space space space space equals open parentheses negative 7 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 3 end exponent open vertical bar table row 6 5 row cell negative 2 end cell 4 end table close vertical bar space space space space space space space space space equals 7 open parentheses 24 plus 10 close parentheses space space space space space space space space space equals 238$

ตัวอย่าง 4 จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ $A space equals open square brackets table row 5 1 2 4 row cell negative 1 end cell 0 2 3 row 1 1 6 1 row 1 0 0 cell negative 4 end cell end table close square brackets$

วิธีทำ
$d e t space A space equals open square brackets table row 5 1 2 4 row cell negative 1 end cell 0 2 3 row 1 1 6 1 row 1 0 0 cell negative 4 end cell end table close square brackets space space space equals open parentheses 1 close parentheses C subscript 41 plus 0 C subscript 42 plus 0 C subscript 43 plus open parentheses 4 close parentheses C subscript 44 C subscript 41 equals open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 4 plus 1 end exponent open vertical bar table row 1 2 4 row 0 2 3 row 1 6 1 end table close vertical bar space space space space space equals negative open square brackets 2 open vertical bar table row 1 4 row 1 1 end table close vertical bar minus 3 open vertical bar table row 1 2 row 1 6 end table close vertical bar close square brackets space space space space space equals 18 C subscript 44 equals open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 4 plus 4 end exponent open vertical bar table row 5 1 2 row cell negative 1 end cell 0 2 row 1 1 6 end table close vertical bar space space space space space space equals 1 open vertical bar table row 1 2 row 1 6 end table close vertical bar minus 2 open vertical bar table row 5 1 row 1 1 end table close vertical bar space space space space space space equals space minus 4$

ตัวอย่าง 5 จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ต่อไปนี้

วิธีทำ
1) กระจายตามแถวที่ 1 จะได้
$d e t space open parentheses A close parentheses space equals a subscript 11 A subscript 11 plus a subscript 12 A subscript 12 plus a subscript 13 A subscript 13 space space space space space space space space space space space equals open parentheses 0 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 plus 1 end exponent open vertical bar table row 3 cell negative 2 end cell row cell negative 4 end cell cell negative 3 end cell end table close vertical bar plus open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 plus 2 end exponent open vertical bar table row cell negative 1 end cell cell negative 2 end cell row 5 cell negative 3 end cell end table close vertical bar space space space space space space space space space space space space space plus open parentheses 2 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 plus 3 end exponent open vertical bar table row cell negative 1 end cell 3 row 5 cell negative 4 end cell end table close vertical bar space space space space space space space space space space space equals 0 plus open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses 13 close parentheses plus open parentheses 2 close parentheses open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 11 close parentheses equals negative 35$
2) สดมภ์ที่ 2 มีศูนย์ อยู่ 3 ตัว ดังนั้นกระจายตามสดมภ์ที่ 2 จะได้
$d e t open parentheses A close parentheses equals a subscript 12 A subscript 12 plus a subscript 22 A subscript 22 plus a subscript 32 A subscript 32 plus a subscript 42 A subscript 42 space space space space space space space space space equals open parentheses 0 close parentheses A subscript 12 plus open parentheses 0 close parentheses A subscript 22 plus open parentheses 2 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 3 plus 2 end exponent open vertical bar table row 1 cell negative 2 end cell 0 row 2 7 5 row cell negative 6 end cell 4 0 end table close vertical bar plus open parentheses 0 close parentheses A subscript 42$
$space space space space space space space equals open parentheses negative 2 close parentheses open vertical bar table row 1 cell negative 2 end cell 0 row 2 7 5 row cell negative 6 end cell 4 0 end table close vertical bar$
กระจายตามสดมภ์ที่ 3 จะได้
$space space space space space space space space space equals open parentheses negative 2 close parentheses open parentheses 0 plus open parentheses 5 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 2 plus 3 end exponent open vertical bar table row 1 cell negative 2 end cell row cell negative 6 end cell 4 end table close vertical bar plus 0 close parentheses space space space space space space space space space equals open parentheses negative 2 close parentheses open parentheses 5 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 8 close parentheses equals negative 80$

ตัวอย่าง 6 จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ต่อไปนี้

$open parentheses A close parentheses open square brackets table row 2 cell negative 1 end cell 3 row 0 4 2 row 0 0 6 end table close square brackets space space open parentheses B close parentheses open square brackets table row 1 0 0 row 2 0 0 row 1 2 1 end table close square brackets space space open parentheses C close parentheses open square brackets table row 1 0 0 row 0 cell negative 1 end cell 0 row 0 0 1 end table close square brackets open parentheses A close parentheses open square brackets table row 2 cell negative 1 end cell 3 row 0 4 2 row 0 0 6 end table close square brackets equals open parentheses 2 close parentheses open parentheses 4 close parentheses open parentheses 6 close parentheses equals 48 open parentheses B close parentheses open square brackets table row 1 0 0 row 2 0 0 row 1 2 1 end table close square brackets equals open parentheses 1 close parentheses open parentheses 0 close parentheses open parentheses 1 close parentheses equals 0 open parentheses C close parentheses open square brackets table row 1 0 0 row 0 cell negative 1 end cell 0 row 0 0 1 end table close square brackets equals open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses 1 close parentheses equals negative 1$

สังเกต เนื่องจากเมตริกซ์ทั้ง3 เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยม ดังนั้นค่าดีเทอร์มินันต์คือ ผลคูณของสมาชิกในแนวทแยงมุม

ทฤษฎีบท 1 คุณสมบัติของตัวกำหนด (Properties of Determinants)

ให้ A , B เป็น n x n เมตริกซ์

1. ถ้า A^T เป็นทรานสโพสเมตริกซ์ของ A แล้ว
det A^T = det A

เช่น $A space equals open square brackets table row 5 7 row 3 cell negative 4 end cell end table close square brackets d e t space A space equals open square brackets table row 5 7 row 3 cell negative 4 end cell end table close square brackets equals negative 20 minus 21 equals negative 41 d e t space A to the power of T open square brackets table row 5 3 row 7 cell negative 4 end cell end table close square brackets equals negative 20 minus 21 equals negative 41$

2. ถ้ามีสมาชิกของ 2 แถว (หรือ 2 สดมภ์) ใด ๆ ของเมตริกซ์ A มีค่าเท่ากันแล้ว det A = 0
( ถ้าแถว ใดแถวหนึ่ง(หรือสดมภ์ใดสดมภ์หนึ่ง) ของ A เป็นผลคูณของอีกแถว (หรือสดมภ์) หนึ่ง กับค่าคงที่ แล้ว det A = 0 )

เช่น $A space equals open square brackets table row 6 2 2 row 4 2 2 row 9 2 2 end table close square brackets d e t space A space equals open vertical bar table row 6 2 2 row 4 2 2 row 9 2 2 end table close vertical bar space equals space 0$

3. ถ้าสมาชิกทุกตัวของแถว (หรือสดมภ์) ใด ๆ ของเมตริกซ์ A เป็นศูนย์ แล้ว det A = 0

เช่น $open vertical bar table row 4 6 0 row 1 5 0 row 8 cell negative 1 end cell 0 end table close vertical bar equals space 0$

4. ถ้าเมตริกซ์ B เกิดจากการสลับ 2 แถว (หรือสดมภ์) ใด ๆ ของเมตริกซ์ A แล้ว
det B = – det A

เช่น $open vertical bar table row 2 1 3 row 6 0 7 row 4 cell negative 1 end cell 9 end table close vertical bar equals negative open vertical bar table row 4 cell negative 1 end cell 9 row 6 0 7 row 2 1 3 end table close vertical bar$

5. ถ้าเมตริกซ์ B เกิดจากการคูณ 1 แถว (หรือสดมภ์) ใด ๆ ของเมตริกซ์ A ด้วย จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์, k แล้ว det B = k det A

เช่น $open vertical bar table row 5 8 row 20 16 end table close vertical bar space space space space space space space space space space space space space space space equals 5 open vertical bar table row 1 8 row 4 16 end table close vertical bar open parentheses 5 cross times 16 close parentheses minus open parentheses 20 cross times 8 close parentheses equals open parentheses 5 cross times 8 close parentheses open vertical bar table row 1 1 row 4 2 end table close vertical bar minus 80 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals open parentheses 5 cross times 8 cross times 2 minus open vertical bar table row 1 1 row 2 1 end table close vertical bar close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 80 open parentheses 1 minus 2 close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals negative 80$

และ $open vertical bar table row 4 2 cell negative 1 end cell row 5 cell negative 2 end cell 1 row 7 4 cell negative 2 end cell end table close vertical bar equals negative 2 open vertical bar table row 4 cell negative 1 end cell cell negative 1 end cell row 5 1 1 row 7 cell negative 2 end cell cell negative 2 end cell end table close vertical bar$

6. det AB = det A . det B

เช่น $Error converting from MathML to accessible text.$

ดังนั้น $open parentheses d e t space A close parentheses. open parentheses d e t space B close parentheses equals open parentheses negative 8 close parentheses open parentheses 3 close parentheses equals negative 24 equals open parentheses d e t space A B close parentheses$

ดีเทอร์มิแนนต์

แบบฝึกหัด

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มิแนนต์

เนื้อหา

ตัวกำหนด (Determinant)

การหาดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์ขนาด (1 x 1) , (2 x 2) และ (3 x 3)

การหาดีเทอร์มินันต์ของเมตริกซ์จตุรัสขนาดทั่วไป

ทฤษฎีบท 1 คุณสมบัติของตัวกำหนด (Properties of Determinants)

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ