การดำเนินการบนเซต (Operations on Sets)

สำหรับเซต A และ B ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U เรานิยามการดำเนินการเบื่องต้นของเซต 4 ชนิด ดังนี้

1. ยูเนียน (Union) ยูเนียนของ A กับ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกจากเซต A หรือ เซต B ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย  “A ∪ B”

ตัวอย่าง

A = {1,2,3} และ B = {3,4,5} จะได้ว่า
A ∪ B = {1,2,3,4,5}

2. อินเตอร์เซ็กชัน (Intersection) อินเตอร์เซ็กชันของ A กับ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกทั้งของเซต A และ เซต B ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย
“A ∩ B”

ตัวอย่าง

A = {1,2,3} และ B = {2,3,4,5} จะได้ว่า
A ∩ B = {2,3}

3. คอมพลีเมนท์ (Complement) คอมพลีเมนท์ของ A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย “ A' ” หรือ “”

ตัวอย่าง

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} และ
A = {2,4,6,8} จะได้ว่า A' หรือ
 = {1,3,5,7,9}

4. ผลต่าง (Difference) ผลต่างระหว่าง A กับ B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A แต่ไม่เป็นสมาชิกของ B ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย “A – B”
ผลต่างระหว่าง A – B อาจพิจารณาว่าหมายถึง คอมพลีเมนท์ของ B เมื่อเทียบกับ A นั่นคือ A-B= A∩B'

ตัวอย่าง

A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} และ
C = {5,6,7} จะได้ว่า A – B = {1,2},
B – A = {5,6} และ A – C = {1,2,3,4} = A
สังเกตว่า A – B ≠ B – A

สามารถแสดงการดำเนินการบนเซ็ตด้วยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ โดยส่วนที่  แรเงาคือผลของการดำเนินการ ดังนี้

  A ∪ B A ∩ B A – B  =   A' หรือ 

สมบัติของการดำเนินการต่างๆ บนเซต

กำหนดให้ A, B, และ C เป็นเซตใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติที่สำคัญมีดังนี้

1. A∪A=A
   A∩A=A
   A∪∅=A
   A∩∅=∅
   A∪U=U
   A∩U=A
2. A∪B=B∪A
   A∩B=B∩A
3. A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
   A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
4. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
   A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
5. (A')'=A U' =∅
   ∅' =UA∪A'=U
   A∩A'= ∅ (A∪B)'=A'∩B'
6. (A∩B)'=A'∪B' สำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ ,,,… เป็นเซตใดๆ จะได้ว่า
   (∪ ∪∪…)'='∩ '∩'∩…
   และ (∩ ∩∩…)'='∪ '∪'∪… เรียกว่า ”De Morgan's law”
7. (A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)
   (A∩B)-C=(A-C)∩(B-C)
   C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B)
   C-(A∩B)=(C-A)∪(C-B)

ตัวอย่าง

กำหนดให้ U = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, A = {1, 2, 3}, B = {-5, -4, -3}, และ C = {-3, -1, 0, 1} จะได้ว่า
1. A∪B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3}
2. (A∪B)' = {-2, -1, 0} ซึ่งเท่ากับ    A'∩B' = {-5, -4, -3, -2, -1, 0} ∩ {-2, -1, 0, 1, 2, 3} = {-2, -1, 0}
3. C-B = {-1, 0, 1} (C-B)'= {-5, -4, -3, -2, 2, 3} หรืออาจพิจารณาจาก
(C-B)' = (C∩B')' = C'∪(B')' = C'∪B = {-5, -4, -2, 2, 3} ∪ {-5, -4, -3} = {-5, -4, -3, -2, 2, 3}
4. (C-B)∩A = {-1, 0, 1} ∩ {1, 2, 3} = {1}
5. C-(A∪B) = {-1, 0} หรืออาจพิจารณาจาก C-(A∪B) = (C-A)∩(C-B) = {-3, -1, 0} ∩ {-1, 0, 1} = {-1, 0}