อินทิเกรต

ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative)

เราได้ศึกษาวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กําหนดให้ไปแล้ว ในบทนี้ เราจะกล่าวถึงการดําเนินการที่ถือว่าเป็นการดําเนินการผกผันของอนุพันธ์ กล่าวคือ ถ้ากําหนดฟังก์ชัน $f$ เราต้องหาฟังก์ชัน $F$ ที่มีอนุพันธ์เท่ากับ $f$

บทนิยาม กําหนดฟังก์ชัน $f$ จะเรียกฟังก์ชัน $F$ ว่า ปฏิยานุพันธ์ ของ $f$ เมื่อ
$straight F apostrophe open parentheses straight x close parentheses equals straight f open parentheses straight x close parentheses$ สําหรับทุก $x$ ในโดเมนของ $f$

จากนิยามจะพบความสัมพันธ์ระว่างการดําเนินการ การหาอนุพันธ์ (derivative) และ การหาปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) ดังนี้

ตัวอย่าง กําหนด $bold italic f$ ดังต่อไปนี้ จงหา $bold italic F$ ที่เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $bold italic f$

(1) $f open parentheses x close parentheses equals x$

วิธีทำ
$F open parentheses x close parentheses equals x squared over 2$ หรือ $F open parentheses x close parentheses equals x squared over 2 plus 1$ หรือ อื่นๆ ในรูป $F open parentheses x close parentheses equals x squared over 2 plus C$

(2) $f open parentheses x close parentheses equals x squared plus 3$

วิธีทำ
$F open parentheses x close parentheses equals x cubed over 3 plus 3 x$ หรือ $F open parentheses x close parentheses equals x cubed over 3 plus 3 x plus 1$ หรือ อื่นๆ ในรูป $F open parentheses x close parentheses equals x cubed over 3 plus 3 x plus C$

อินทิกรัลไม่จํากัดเขต (Indefinite Integral)

บทนิยาม กําหนดฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจํานวนจริง และ $F open parentheses x close parentheses$ เป็นฟังก์ชันซึ่ง $straight F apostrophe open parentheses straight x close parentheses equals straight f open parentheses straight x close parentheses$ สําหรับทุกๆ $x$ ในโดเมนของ $f$ อินทิกรัลไม่จํากัดเขตของ $f open parentheses x close parentheses$
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $integral f open parentheses x close parentheses d x$ ซึ่งนิยามว่า $integral f open parentheses x close parentheses d x equals F open parentheses x close parentheses plus C$ เมื่อ $C$ เป็นค่าคงตัว

สูตรการหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

ให้ $bold italic k$ และ $bold italic C$ เป็นค่าคงตัว

$integral k d u equals k u plus C$
$integral u to the power of n d u equals fraction numerator u to the power of n plus 1 end exponent over denominator n plus 1 end fraction plus C comma space n integral negative 1$
$integral k f u open parentheses blank close parentheses d u equals k integral f open parentheses u close parentheses d u$
$integral open square brackets f open parentheses u close parentheses integral g open parentheses u close parentheses close square brackets d u equals integral f open parentheses u close parentheses d u double integral g open parentheses u close parentheses d u$

หมายเหตุ $integral f apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals f open parentheses x close parentheses d x plus C$

ตัวอย่าง กำหนด $bold italic f bold apostrophe begin bold style left parenthesis x right parenthesis end style bold equals bold italic x to the power of bold 2 bold minus bold 3 bold italic x$ จงหา $bold italic f begin bold style left parenthesis x right parenthesis end style$ ซึ่งทำให้ $bold italic f begin bold style left parenthesis 1 right parenthesis end style bold equals bold 0$

วิธีทำ

$integral f apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x squared minus 3 x d x equals x cubed over 3 minus 3 over 2 x squared equals f open parentheses x close parentheses plus C$

จาก $f open parentheses 1 close parentheses equals 0$
จะได้ $1 third minus 3 over 2 equals f open parentheses 1 close parentheses plus C equals 0 therefore C equals negative 7 over 16 therefore f open parentheses x close parentheses equals x cubed over 3 minus 3 over 2 x squared plus 7 over 6$

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

กําหนดให้ $bold italic y bold equals bold italic f bold left parenthesis bold x bold right parenthesis$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $begin bold style left square bracket a comma b right square bracket end style$
ถ้า $bold italic F bold left parenthesis bold x bold right parenthesis$ เป็นฟังก์ชันบนช่วง $begin bold style left square bracket a comma b right square bracket end style$ โดยที่ $bold F bold apostrophe bold left parenthesis bold x bold right parenthesis bold equals bold f bold left parenthesis bold x bold right parenthesis$ แล้ว

$bold integral subscript bold a superscript bold b bold italic f bold left parenthesis bold x bold right parenthesis bold italic d bold italic x bold equals bold italic F bold left parenthesis bold b bold right parenthesis bold minus bold italic F bold left parenthesis bold a bold right parenthesis$
ใช้สัญลักษณ์ $bold integral subscript bold a superscript bold b bold italic f bold left parenthesis bold x bold right parenthesis bold italic d bold italic x bold equals bold italic F bold left parenthesis bold x bold right parenthesis subscript bold a to the power of bold b bold equals bold italic F bold left parenthesis bold b bold right parenthesis bold minus bold italic F bold left parenthesis bold a bold right parenthesis$

สมบัติบางประการของอินทิกรัลจํากัดเขต

กําหนดให้ $bold italic f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง $begin bold style left square bracket a comma b right square bracket end style$ และ $bold italic k$ เป็นค่าคงตัว

$integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x$ หาค่าได้เสมอ
$integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x equals negative integral subscript b superscript a f open parentheses x close parentheses d x$
$integral subscript a superscript a f open parentheses x close parentheses d x equals 0$
$integral subscript a superscript b k f open parentheses x close parentheses d x equals k integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x$
$integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x equals integral subscript a superscript c f open parentheses x close parentheses d x plus integral subscript c superscript b f open parentheses x close parentheses d x$
∎ ถ้า $f open parentheses x close parentheses$ สําหรับทุก $x integral open square brackets a comma b close square brackets$ แล้ว $integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x integral 0$
∎ ถ้า $f open parentheses x close parentheses integral 0$ สําหรับทุก $x integral open square brackets a comma b close square brackets$ แล้ว $integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x equals f open parentheses c close parentheses open parentheses b minus a close parentheses$
จะมีจํานวน $c integral open square brackets a comma b close square brackets$ ซึ่งทําให้ $integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x equals f open parentheses c close parentheses open parentheses b minus a close parentheses$

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

บทนิยาม กําหนดฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องภายในช่วงปิด $open square brackets a comma b close square brackets$
บริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ $bold italic f$ จาก $bold italic x bold equals bold italic a$ ถึง $bold italic x bold equals bold italic b$ หมายถึง
บริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ $f$ แกน $x$ เส้นตรง $x equals a$ และ

การหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง แบ่งออกเป็น 2 กรณี ดังนี้

ถ้า $f open parentheses x close parentheses integral 0$ สําหรับทุก $x integral open square brackets a comma b close square brackets$
แล้ว $A$ เป็นพื้นที่เหนือแกน $x$ และ $A equals integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x$

2. ถ้า $f open parentheses x close parentheses integral 0$ สําหรับทุก $x integral open square brackets a comma b close square brackets$
แล้ว $A$ เป็นพื้นที่ใต้แกน $x$ และ $A equals integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x$

บทนิยาม กําหนดฟังก์ชัน $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องภายในช่วงปิด $open square brackets a comma b close square brackets$
บริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ $bold italic f$ และ $bold italic g$ จาก $bold italic x bold equals bold italic a$ ถึง $bold italic x bold equals bold italic b$
หมายถึง บริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ $bold italic f$ และ $bold italic g$ เส้นตรง $bold italic x bold equals bold italic a$ และ $bold italic x bold equals bold italic b$

การหาพื้นที่ของบริเวณดังกล่าว ขึ้นอยู่กับลักษณะของกราฟ $f$ และ $g$ ว่ากราฟของฟังก์ชันใดอยู่สูงกว่าซึ่งสรุปสูตรวิธีการหาได้ดังนี้

กําหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องภายในช่วงปิด $open square brackets a comma b close square brackets$ และ $f open parentheses x close parentheses integral g open parentheses x close parentheses$ สําหรับทุก $x integral open square brackets a comma b close square brackets$

ถ้า $bold italic A$ แทนด้วยพื้นที่ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $bold italic f$ และ $bold italic g$ จาก $bold italic x bold equals bold italic a$ ถึง $bold italic x bold equals bold italic b$ แล้ว

A equals integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses minus g open parentheses x close parentheses d x

ปริพันธ์ของฟังก์ชัน

แบบฝึกหัด

ปริพันธ์ของฟังก์ชัน

ปริพันธ์ของฟังก์ชัน

ปริพันธ์ของฟังก์ชัน

เนื้อหา

อินทิเกรต

ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative)

อินทิกรัลไม่จํากัดเขต (Indefinite Integral)

สูตรการหาอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

สมบัติบางประการของอินทิกรัลจํากัดเขต

พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ