ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน

การหาลิมิตของฟังก์ชันต่างกับการหาค่าของฟังก์ชัน เพราะในการหาค่าของฟังก์ชัน $f open parentheses x close parentheses$ ที่จุด $x equals a$ หมายความว่า $f open parentheses a close parentheses$ มีค่าเท่าใด แต่ในการหาค่าลิมิตของ $f open parentheses x close parentheses$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ นั้น ต้องการให้พิจารณาค่าของฟังก์ชัน $f open parentheses x close parentheses$ ว่ามีค่าเป็นอย่างไรขณะที่ $x$ เข้าใกล้ $a$ โดยเริ่มจากค่า $x$ ค่าใดก็ได้ ซึ่งสามารถแยกพิจารณาได้ดังนี้

ลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ $x rightwards arrow a$

นิยาม 1 ถ้า $f open parentheses x close parentheses$ มีค่าเข้าใกล้ $L$ ในขณะที่ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a$ แล้วจะเรียก $L$ ว่าเป็นลิมิตของ $f open parentheses x close parentheses$ เมื่อ $x$ มีค่าเข้าใกล้ $a$

เขียนแทนด้วย

limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses equals L

ทฤษฎีบท 1 $limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses$ หาค่าได้ และมีค่าเท่ากับ $L$ ก็ต่อเมื่อ

(1) $limit as x rightwards arrow a to the power of plus of f open parentheses x close parentheses$ และ $limit as x rightwards arrow a to the power of minus of f open parentheses x close parentheses$ หาค่าได้

(2) $limit as x rightwards arrow a to the power of plus of f open parentheses x close parentheses equals limit as x rightwards arrow a to the power of plus of f open parentheses x close parentheses$

คุณสมบัติของลิมิตที่สำคัญมีดังนี้
ให้

a comma k comma L comma M

เป็นจำนวนจริง

limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses equals L

และ

limit as x rightwards arrow a of g open parentheses x close parentheses equals M

จะได้ว่า
1.

limit as x rightwards arrow a of k f open parentheses x close parentheses equals k L

limit as x rightwards arrow a of open square brackets f open parentheses x close parentheses plus-or-minus g open parentheses x close parentheses close square brackets equals L plus-or-minus M

limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses equals L M

limit as x rightwards arrow a of fraction numerator f open parentheses x close parentheses over denominator g open parentheses x close parentheses end fraction equals L over M comma space M not equal to 0

5. ถ้า

f open parentheses x close parentheses

เป็นฟังก์ชันพหุนาม จะได้ว่า สำหรับจำนวน

a

ใดๆ

limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses equals f open parentheses a close parentheses

limit as x rightwards arrow a of n-th root of g open parentheses x close parentheses end root equals n-th root of limit as x rightwards arrow a of g open parentheses x close parentheses end root

begin mathsize 14px style limit as x rightwards arrow a of sin space x equals sin space a space space space space space limit as x rightwards arrow a of c s c space x equals c s c space a limit as x rightwards arrow a of cos space x equals space cos space a space space space limit as x rightwards arrow a of s e c space x equals s e c space a limit as x rightwards arrow a of space tan space x equals tan space a space space space space space limit as x rightwards arrow a of c o t space x equals c o t space a end style

ในการหาลิมิตบางครั้ง เราจะพบว่าเมื่อแทนค่า $x$ ด้วย $a$ แล้ว จะได้ฟังก์ชันอยู่ในรูป $0 over 0$ ซึ่งเราต้องเปลี่ยนรูปนี้ได้โดย

1) การแยกตัวประกอบ (Factor)

2) ใช้สังยุค (Conjugate) คูณทั้งเศษและส่วน

ตัวอย่างที่ 1 $limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator x cubed minus x squared minus 9 x plus 9 over denominator x squared minus x minus 6 end fraction$

วิธีทำ

$limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator x cubed minus x squared minus 9 x plus 9 over denominator x squared minus x minus 6 end fraction equals limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator x squared open parentheses x minus 1 close parentheses minus 9 open parentheses x minus 1 close parentheses over denominator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator open parentheses x minus 1 close parentheses open parentheses x squared minus 9 close parentheses over denominator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator open parentheses x minus 1 close parentheses open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 3 close parentheses over denominator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 2 close parentheses end fraction equals 12 over 5$

ตัวอย่างที่ 2 จงหา $limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator 2 square root of x over denominator square root of 16 plus 2 square root of x end root minus 4 end fraction$

วิธีทำ

$limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator 2 square root of x over denominator square root of 16 plus 2 square root of x end root minus 4 end fraction times fraction numerator square root of 16 plus 2 square root of x end root plus 4 over denominator square root of 16 plus 2 square root of x plus 4 end root end fraction limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator open parentheses 2 square root of x close parentheses open parentheses square root of 16 plus 2 square root of x end root plus 4 close parentheses over denominator 16 plus 2 square root of x minus 16 end fraction$

ทฤษฎีบท 3

$limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin space x over denominator x end fraction equals 1$
$limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator cos space x minus 1 over denominator x end fraction equals 0$

ตัวอย่าง 3 จาก $limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin space x over denominator x end fraction equals 1$ จงแสดงว่า $limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator cos space x minus 1 over denominator x end fraction equals 0$

พิสูจน์

$limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator cos space x minus 1 over denominator x end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator cos begin display style space end style begin display style x end style begin display style minus end style begin display style 1 end style over denominator x end fraction open parentheses fraction numerator cos begin display style space end style begin display style x end style begin display style plus end style begin display style 1 end style over denominator cos begin display style space end style begin display style x end style begin display style plus end style begin display style 1 end style end fraction close parentheses equals limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator begin display style cos squared space x minus 1 end style over denominator x open parentheses cos space x plus 1 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator negative sin squared x over denominator x open parentheses cos space x plus 1 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin begin display style space end style begin display style x end style over denominator x end fraction times fraction numerator negative sin space x over denominator cos begin display style space end style begin display style x end style begin display style plus end style begin display style 1 end style end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator sin begin display style space end style begin display style x end style over denominator x end fraction times limit as x rightwards arrow 0 of fraction numerator negative sin space x over denominator cos begin display style space end style begin display style x end style begin display style plus end style begin display style 1 end style end fraction equals 1 times 0 equals 0$

ลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ $x rightwards arrow infinity$ ( ลิมิตที่อนันต์ )

เมื่อโดเมนของฟังก์ชัน $y equals f open parentheses x close parentheses$ ไม่จำกัด ค่าของ $f open parentheses x close parentheses$ อาจจะมีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เมื่อ $x$ มีค่าเพิ่มมากขึ้นโดยไม่มีขอบเขต (เขียน $x rightwards arrow plus infinity$ ) หรือเมื่อ $x$ มีค่าลดลงโดยไม่มีขอบเขต (เขียน $x rightwards arrow negative infinity$ )

คุณสมบัติของลิมิตที่อนันต์

ลิมิตที่อนันต์มีคุณสมบัติบางประการเหมือนกับคุณสมบัติของลิมิตของฟังก์ชันที่เราได้เคยศึกษามาแล้ว ซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

ให้

k comma L comma M

เป็นจำนวนจริง

limit as x rightwards arrow plus infinity of f open parentheses x close parentheses equals L

และ

limit as x rightwards arrow plus infinity of g open parentheses x close parentheses equals M

จะได้ว่า

$limit as x rightwards arrow plus infinity of k equals k$
$limit as x rightwards arrow plus infinity of open square brackets f open parentheses x close parentheses plus-or-minus g open parentheses x close parentheses close square brackets equals L plus-or-minus M$
$limit as x rightwards arrow plus infinity of f open parentheses x close parentheses g open parentheses x close parentheses equals L M$
$limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator f open parentheses x close parentheses over denominator g open parentheses x close parentheses end fraction equals L over M comma space M not equal to 0$
$limit as x rightwards arrow plus infinity of open square brackets f open parentheses x close parentheses close square brackets to the power of 1 over n end exponent equals L to the power of 1 over n end exponent$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $L greater or equal than 0$
$limit as x rightwards arrow plus infinity of 1 over x to the power of n equals 0$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

คุณสมบัติทั้ง 6 ข้อยังคงเป็นจริงเมื่อแทน $x rightwards arrow plus infinity$ ด้วย $x rightwards arrow negative infinity$

ตัวอย่าง 4 จงหา $limit as x rightwards arrow plus infinity of fraction numerator square root of 3 x to the power of 4 plus 7 x squared plus 6 end root over denominator 4 x squared minus 3 x minus 6 end fraction$

วิธีทำ
หารด้วย $x squared$ ทั้งเศษและส่วน จะได้ $limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator square root of begin display style fraction numerator 3 x to the power of 4 over denominator x to the power of 4 end fraction plus fraction numerator 7 x squared over denominator x to the power of 4 end fraction plus 6 over x to the power of 4 end style end root over denominator begin display style fraction numerator 4 x squared over denominator x squared end fraction minus fraction numerator 3 x over denominator x squared end fraction minus 6 over x squared end style end fraction equals fraction numerator square root of 3 over denominator 4 end fraction$

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ในการหาลิมิตของฟังก์ชัน พบว่า บางครั้งค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$ จะเท่ากับค่าของฟังก์ชัน ที่จุด $x equals a$ ซึ่ง เราจะเรียกฟังก์ชันลักษณะนี้ว่า มีความต่อเนื่องที่จุด $x equals a$ ซึ่งสามารถกำหนดเป็นนิยามได้ดังนี้

นิยาม 2 ฟังก์ชัน $f open parentheses x close parentheses$ จะเรียกว่ามีความต่อเนื่องที่จุด $x equals a$ ถ้าเงื่อนไขทั้ง 3 ข้อต่อไปนี้เป็นจริง

$f open parentheses a close parentheses$ หาค่าได้
$limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses$ หาค่าได้ นั่นคือ $limit as x rightwards arrow a to the power of plus of f open parentheses x close parentheses equals limit as x rightwards arrow a to the power of minus of f open parentheses x close parentheses$
$limit as x rightwards arrow a of f open parentheses x close parentheses equals f open parentheses a close parentheses$

หมายเหตุ
1. ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุดใด กราฟของฟังก์ชันจะไม่ขาดตอนที่จุดนั้น
2. ถ้าฟังก์ชัน ขาดเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง จะได้ว่าฟังก์ชันนั้นไม่มีความต่อเนื่องที่จุด $a$

ตัวอย่าง 5 กำหนดให้ $f open parentheses x close parentheses equals x squared plus x plus 1$

พิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ $x equals 0$ นั่นคือ

$f open parentheses 0 close parentheses equals 1$ หาค่าได้
$limit as x rightwards arrow 0 of f open parentheses x close parentheses equals 1$ หาค่าได้
$limit as x rightwards arrow 0 of f open parentheses 0 close parentheses equals f open parentheses 0 close parentheses equals 1$

ลิมิต และความต่อเนื่อง

แบบฝึกหัด