อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นิยาม 1 อนุพันธ์

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบนช่วงเปิดที่มี $x$ เป็นสมาชิกแล้ว
อนุพันธ์ของ $f$ ที่ $x$ เขียนแทนด้วย $f apostrophe open parentheses x close parentheses$

นิยามโดย

f apostrophe open parentheses x close parentheses equals limit as increment x rightwards arrow 0 of fraction numerator f open parentheses x plus increment x close parentheses minus f open parentheses x close parentheses over denominator increment x end fraction

สูตรการหาอนุพันธ์

ให้ $u comma v$ แทนฟังก์ชันของ $x$ และ $c comma n$ แทนค่าคงที่ แล้ว

$fraction numerator d c over denominator d x end fraction equals 0$ และ $fraction numerator d x over denominator d x end fraction equals 1$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses c u close parentheses equals c fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses u plus-or-minus v close parentheses equals fraction numerator d u over denominator d x end fraction plus-or-minus fraction numerator d v over denominator d x end fraction$
$begin mathsize 14px style fraction numerator d u to the power of n over denominator d x end fraction equals n u to the power of n minus 1 end exponent times fraction numerator d u over denominator d x end fraction comma space fraction numerator d x to the power of n over denominator d x end fraction equals n x to the power of n minus 1 end exponent times fraction numerator d x over denominator d x end fraction equals n x to the power of n minus 1 end exponent end style$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses u v close parentheses equals u fraction numerator d v over denominator d x end fraction plus v fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses u over v close parentheses equals fraction numerator v begin display style fraction numerator d u over denominator d x end fraction end style minus u begin display style fraction numerator d v over denominator d x end fraction end style over denominator v squared end fraction$

ตัวอย่าง 1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

1) $y equals fraction numerator open parentheses 2 x minus 1 close parentheses squared over denominator x squared plus 7 end fraction$

วิธีทำ

$fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator d over denominator d x end fraction open square brackets fraction numerator begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses squared end style over denominator x squared plus 7 end fraction close square brackets equals fraction numerator open parentheses x squared plus 7 close parentheses begin display style fraction numerator d over denominator d x end fraction end style begin display style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style squared end style begin display style minus end style begin display style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style squared end style begin display style fraction numerator d over denominator d x end fraction end style begin display style open parentheses x squared plus 7 close parentheses end style over denominator begin display style open parentheses x squared plus 7 close parentheses squared end style end fraction equals fraction numerator open parentheses x squared plus 7 close parentheses begin display style times end style begin display style 2 end style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style begin display style fraction numerator d over denominator d x end fraction end style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style begin display style minus end style begin display style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style squared end style begin display style times end style begin display style 2 end style begin display style x end style over denominator begin display style open parentheses x squared plus 7 close parentheses squared end style end fraction equals fraction numerator open parentheses x squared plus 7 close parentheses begin display style times end style begin display style 2 end style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style begin display style times end style begin display style 2 end style begin display style minus end style begin display style begin display style open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end style squared end style begin display style times end style begin display style open parentheses 2 x close parentheses end style over denominator begin display style open parentheses x squared plus 7 close parentheses squared end style end fraction equals fraction numerator 4 open parentheses x squared plus 7 close parentheses open parentheses 2 x minus 1 close parentheses minus open parentheses 2 x minus 1 close parentheses squared times 2 x over denominator begin display style open parentheses x squared plus 7 close parentheses squared end style end fraction$

2) $f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator x to the power of 7 minus 4 square root of x minus 2 over denominator x squared end fraction$

วิธีทำ

$f apostrophe open parentheses x close parentheses equals fraction numerator d over denominator d x end fraction open square brackets fraction numerator x to the power of 7 minus 4 square root of x minus 2 over denominator x squared end fraction close square brackets equals fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses x to the power of 5 minus 4 x to the power of negative 3 over 2 end exponent minus 2 x to the power of negative 2 end exponent close parentheses equals fraction numerator d x to the power of 5 over denominator d x end fraction minus 4 fraction numerator d x to the power of negative begin display style 3 over 2 end style end exponent over denominator d x end fraction minus 2 fraction numerator d x to the power of negative 2 end exponent over denominator d x end fraction equals 5 x to the power of 4 minus 4 open parentheses negative 3 over 2 close parentheses x to the power of negative 5 over 2 end exponent minus 2 open parentheses negative 2 close parentheses x to the power of negative 3 end exponent equals 5 x to the power of 4 plus 6 x to the power of negative 5 over 2 end exponent plus 4 x to the power of negative 3 end exponent$

3) $y equals open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses times fourth root of x squared plus 9 end root$

วิธีทำ

$begin mathsize 11px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses times fourth root of x squared plus 9 end root equals open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of 1 fourth end exponent fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses equals open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses open parentheses 1 fourth open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of negative 3 over 4 end exponent close parentheses fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses x squared plus 9 close parentheses plus open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of 1 fourth end exponent open parentheses 50 x to the power of 9 close parentheses equals open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses open parentheses 1 fourth open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of negative 3 over 4 end exponent close parentheses open parentheses 2 x close parentheses plus open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of 1 fourth end exponent open parentheses 50 x to the power of 9 close parentheses equals 1 half x open parentheses 5 x to the power of 10 minus 8 close parentheses open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of negative 3 over 4 end exponent plus 50 x to the power of 9 open parentheses x squared plus 9 close parentheses to the power of 1 fourth end exponent end style$

กฎลูกโซ่ : The Chain Rule

ถ้าฟังก์ชัน $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ และ $F equals f ring operator g$ เป็นฟังก์ชันประกอบซึ่งกำหนดโดย $F open parentheses x close parentheses equals f open parentheses g open parentheses x close parentheses close parentheses$ แล้วฟังก์ชัน $F$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ และ $straight F apostrophe open parentheses straight x close parentheses equals straight f apostrophe open parentheses straight g open parentheses straight x close parentheses close parentheses times straight g apostrophe open parentheses straight x close parentheses$

กล่าวคือ ถ้า $y equals f open parentheses u close parentheses$ และ $u equals g open parentheses x close parentheses$ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้ว

fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator d y over denominator d u end fraction times fraction numerator d u over denominator d x end fraction

ตัวอย่าง 2 จงหา $fraction numerator d y over denominator d x end fraction$ เมื่อ $y equals square root of x to the power of 2 over 3 end exponent plus x to the power of 4 over 3 end exponent minus 1 end root$

วิธีทำ
จาก $begin mathsize 14px style y equals square root of x to the power of 2 over 3 end exponent plus x to the power of 4 over 3 end exponent minus 1 end root equals square root of x to the power of 2 over 3 end exponent plus open parentheses x to the power of 2 over 3 end exponent close parentheses squared minus 1 end root end style$
พิจารณาให้ $y equals square root of u$ , $u equals v plus v squared minus 1$ และ $v equals x to the power of 2 over 3 end exponent$

ดังนั้น จากกฎลูกโซ่จะได้ $fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator d y over denominator d u end fraction times fraction numerator d u over denominator d v end fraction times fraction numerator d v over denominator d x end fraction$
เมื่อ $fraction numerator d y over denominator d u end fraction equals fraction numerator d u to the power of begin display style 1 half end style end exponent over denominator d u end fraction equals 1 half u to the power of negative 1 half end exponent fraction numerator d u over denominator d v end fraction equals fraction numerator d over denominator d v end fraction open parentheses v plus v squared minus 1 close parentheses equals 1 plus 2 v fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals fraction numerator d x to the power of begin display style 2 over 3 end style end exponent over denominator d x end fraction equals 2 over 3 x to the power of negative 1 third end exponent$
เพราะฉะนั้น

$fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 1 half u to the power of negative 1 half end exponent times open parentheses 1 plus 2 v close parentheses times 2 over 3 x to the power of negative 1 third end exponent space space space space space space equals 1 third times open parentheses x to the power of 2 over 3 end exponent plus x to the power of 4 over 3 end exponent minus 1 close parentheses to the power of negative 1 half end exponent times open parentheses x to the power of negative 1 third end exponent plus 2 x to the power of 1 third end exponent close parentheses$

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ให้ $u$ แทนฟังก์ชันของ $x$ และหาอนุพันธ์ได้

$fraction numerator d over denominator d x end fraction sin space u equals cos space u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction cos space u equals negative sin space u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction tan space u equals s e c squared u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction c o t space u equals negative c s c squared u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction s e c space u equals s e c space u space tan space u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction c s c space u equals negative c s c space u space c o t space u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$

ตัวอย่าง 3 จงหา $fraction numerator d y over denominator d x end fraction$ เมื่อ $y equals open parentheses x to the power of 4 plus 1 close parentheses tan space x$

วิธีทำ

$begin mathsize 14px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses x to the power of 4 plus 1 close parentheses tan x equals open parentheses x to the power of 4 plus 1 close parentheses fraction numerator d over denominator d x end fraction tan x space plus tan x fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses x to the power of 4 plus 1 close parentheses equals open parentheses x to the power of 4 plus 1 close parentheses s e c squared x plus tan x open parentheses 4 x cubed close parentheses equals open parentheses x to the power of 4 plus 1 close parentheses s e c squared x plus 4 x cubed tan x end style$

สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

ให้ $u$ แทนฟังก์ชันของ $x$ และหาอนุพันธ์ได้

$fraction numerator d over denominator d x end fraction log subscript a u equals fraction numerator 1 over denominator u ln a end fraction times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses ln space u close parentheses equals 1 over u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$

ตัวอย่าง 4 จงหา $fraction numerator d y over denominator d x end fraction$ เมื่อ $y equals log subscript 3 open parentheses 7 x to the power of 4 plus 1 close parentheses$

วิธีทำ
$fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 1 over denominator open parentheses 7 x to the power of 4 plus 1 close parentheses begin display style ln end style begin display style 3 end style end fraction times 28 x cubed$

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชี้กำลัง

ให้ $u$ แทนฟังก์ชันของ $x$ และหาอนุพันธ์ได้

$fraction numerator d over denominator d x end fraction a to the power of u equals a to the power of u ln a times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$
$fraction numerator d over denominator d x end fraction e to the power of u equals e to the power of u times fraction numerator d u over denominator d x end fraction$

ตัวอย่าง 5 จงหา $f apostrophe open parentheses x close parentheses$ เมื่อ $f open parentheses x close parentheses equals 10 to the power of sin open parentheses 4 x close parentheses end exponent$

วิธีทำ

$fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals 10 to the power of sin open parentheses 4 x close parentheses end exponent ln 10 times open parentheses 4 cos 4 x close parentheses$

การหาอนุพันธ์เชิงลอการิทึม

การหาอนุพันธ์เชิงลอการิทึมนี้ ใช้สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $open square brackets u open parentheses x close parentheses close square brackets to the power of v open parentheses x close parentheses end exponent$ รวมทั้งฟังก์ชันในรูปผลคูณ ผลหาร ที่ยุ่งยากซ้ำซ้อน โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติเปลี่ยนรูปฟังก์ชันเพื่อหาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น มีหลักการทำดังนี้

1.ใส่ $ln$ ทั้งสองข้างของสมการ

2.เปลี่ยนรูปแบบฟังก์ชันตามคุณสมบัติของลอการิทึม

3.หาอนุพันธ์ตลอดทั้งสมการ

4.แก้สมการเพื่อหา $fraction numerator d y over denominator d x end fraction$

ตัวอย่าง 6 จงหา $fraction numerator d y over denominator d x end fraction$ เมื่อ $y equals open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses to the power of x$

วิธีทำ

ใส่ $ln$ ทั้งสองข้างของสมการ
$ln space y equals ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses to the power of x ln space y equals x ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses$

หาอนุพันธ์เทียบ $x$ ทั้งสองข้างของสมการ
$begin mathsize 12px style fraction numerator d over denominator d x end fraction ln space y equals fraction numerator d over denominator d x end fraction x ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses 1 over y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals x fraction numerator d over denominator d x end fraction ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses plus ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses fraction numerator d x over denominator d x end fraction 1 over y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals x times fraction numerator 1 over denominator begin display style sin squared x plus 4 end style end fraction times fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses plus ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses 1 over y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator x over denominator begin display style sin squared x plus 4 end style end fraction times 2 sin x cos x plus ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses 1 over y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 2 x space sin x space cos x over denominator begin display style sin squared x plus 4 end style end fraction plus ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses end style$

ดังนั้น $begin mathsize 14px style fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y open square brackets fraction numerator 2 x space sin x space cos x over denominator begin display style sin squared x plus 4 end style end fraction plus ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses close square brackets equals open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses to the power of x open square brackets fraction numerator 2 x space sin x space cos x over denominator begin display style sin squared x plus 4 end style end fraction plus ln open parentheses sin squared x plus 4 close parentheses close square brackets end style$

นิยาม 2 Implicit function

ฟังก์ชันแฝง (Implicit function) ของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรอิสระ คือ ฟังก์ชันที่เขียนนิยามในรูป $F open parentheses x comma y close parentheses equals 0$ หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าฟังก์ชันนิยามโดยปริยาย เช่น ฟังก์ชัน $f open parentheses x close parentheses$

ที่นิยามโดยสมการ

x squared plus 3 x y squared plus 2 y minus 5 equals 0

การหาอนุพันธ์ฟังก์ชันโดยปริยาย

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝงหาโดยอนุพันธ์ $F open parentheses x comma y close parentheses equals 0$ เทียบกับ $x$ เมื่อ $y equals f open parentheses x close parentheses$ ตลอดสมการ แล้วหา $fraction numerator d y over denominator d x end fraction$ โดยการแก้สมการ เรียกการหาอนุพันธ์วิธีนี้ว่า การหาอนุพันธ์ฟังก์ชันโดยปริยาย(Implicit Differentiation)

ตัวอย่าง 7 จงหา $f apostrophe open parentheses x close parentheses$ ของฟังก์ชันที่นิยามโดยสมการ $y squared plus x y minus 6 x equals 0$

วิธีทำ
$2 y fraction numerator d y over denominator d x end fraction plus x fraction numerator d y over denominator d x end fraction plus y minus 6 equals 0 fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator 6 minus y over denominator 2 y plus x end fraction$

นิยาม 3 Derivatives of Higher Order

อนุพันธ์อันดับสูง หมายถึง การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งครั้งขึ้นไป เรียกว่า อนุพันธ์อันดับสอง อันดับสาม......ของฟังก์ชัน ตามลำดับ เช่น

ถ้าให้ $y equals f open parentheses x close parentheses space แล ้ ว space fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals f apostrophe open parentheses x close parentheses$ เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
$fraction numerator begin display style d squared y end style over denominator begin display style d x squared end style end fraction equals fraction numerator begin display style d end style over denominator begin display style d x end style end fraction open parentheses fraction numerator begin display style d y end style over denominator begin display style d x end style end fraction close parentheses equals fraction numerator begin display style d end style over denominator begin display style d x end style end fraction f apostrophe open parentheses x close parentheses equals f double apostrophe open parentheses x close parentheses$ เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสอง
$begin mathsize 14px style fraction numerator begin display style d cubed y end style over denominator begin display style d x cubed end style end fraction equals fraction numerator begin display style d end style over denominator begin display style d x end style end fraction open parentheses fraction numerator begin display style d squared y end style over denominator begin display style d x squared end style end fraction close parentheses equals fraction numerator begin display style d end style over denominator begin display style d x end style end fraction f double apostrophe open parentheses x close parentheses equals f double apostrophe open parentheses x close parentheses end style$ เรียกว่าอนุพันธ์อันดับสาม
$begin mathsize 14px style fraction numerator d to the power of n y over denominator d x to the power of n end fraction equals fraction numerator d over denominator d x end fraction open parentheses fraction numerator d to the power of n minus 1 end exponent y over denominator d x to the power of n minus 1 end exponent end fraction close parentheses equals fraction numerator d over denominator d x end fraction f to the power of open parentheses n minus 1 close parentheses end exponent open parentheses x close parentheses equals f to the power of open parentheses n close parentheses end exponent open parentheses x close parentheses end style$ เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ $n$

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

แบบฝึกหัด