การเคลื่อนที่แบบวงกลมและแบบหมุน (4)

การโคจรของดาวเทียมรอบโลก และ
การโคจรของดาวเคราะห์

จากกฎของแรงดึดดูดระหว่างมวลของนิวตัน สามารถนำมาใช้กับการโคจรของดาวเคราะห์หรือดาวเทียมรอบโลกโดยที่ แรงดึงดูดระหว่างมวลจะทำหน้าที่เป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง

จากกฎของแรงดึงดูดระหว่างมวลและแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง

$F equals fraction numerator G M subscript E m over denominator R squared end fraction space$ (4.1)

$F equals fraction numerator m v squared over denominator R end fraction space space space$ (4.2)

นำสมการ (4.1) = (4.2);

$fraction numerator G M subscript E m over denominator R squared end fraction equals fraction numerator m v squared over denominator R end fraction v squared equals fraction numerator G M subscript E over denominator R end fraction v equals square root of fraction numerator G M subscript E over denominator R end fraction end root space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left parenthesis 4.3 right parenthesis$

จากสมการ (4.3)

ค่า G คือ ค่าคงตัว เรียกว่า ค่านิจโน้มถ่วงสากล (Universal gravitational constant) = $begin mathsize 14px style 6.67 space cross times 10 to the power of negative space 11 end exponent end style$ นิวตัน $times$ เมตร²ต่อ กิโลกรัม²
ค่า M_E เป็นมวลของโลกที่ดาวเทียมโคจรอยู่ หน่วย กิโลกรัม (kg) และ เมื่อพิจารณามวลของโลกจะมีค่าเท่ากับ $5.98 space cross times space 10 to the power of 24$ กิโลกรัม
ค่า R เป็นระยะทางที่วัดจากจุดศูนย์กลางของโลกไปยังตำแหน่งที่ดาวเทียมอยู่ ซึ่งเขียนเป็นความสัมพันธ์คือ R_E + h เมื่อ
- R_E เป็นรัศมีของโลกมีค่าประมาณ 6380 กิโลเมตร
- h คือ ความสูงของดาวเทียมวัดจากผิวโลก หน่วยเป็น เมตร

ดังนั้นสมการ (4.3) สามารถเขียนได้เป็น

$v equals square root of fraction numerator G M subscript E over denominator R subscript E plus h end fraction end root$ (4.4)

ดาวเทียมที่มีวงโคจรค้างฟ้าในระนาบของเส้นศูนย์สูตร มีคาบการโคจรเท่ากับคาบการหมุนรอบตัวเองของโลก หรือ มีอัตราเร็วเชิงมุมเท่ากับอัตราเร็วเชิงมุมของตำแหน่งบนพื้นโลก ดาวเทียมจึงอยู่ตรงกับตำแหน่งที่กำหนดไว้บนพื้นโลกตลอดเวลา

เมื่อดาวเทียมโคจรรอบโลก 1 รอบอัตราเร็วของดาวเทียมคือ $V equals fraction numerator 2 pi R over denominator T end fraction$ และ แทนในสมการ (4.3) จะได้

$fraction numerator 2 pi R over denominator T end fraction equals square root of fraction numerator G M subscript E over denominator R end fraction end root$

ยกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง

$open parentheses fraction numerator 2 pi R to the power of blank over denominator T end fraction close parentheses squared equals fraction numerator G M subscript E over denominator R end fraction space space fraction numerator 4 pi squared R squared over denominator T squared end fraction equals fraction numerator G M subscript E over denominator R end fraction space space space space space space space T squared equals fraction numerator 4 pi squared R cubed over denominator G M subscript E end fraction$

เพราะฉะนั้น

T equals 2 pi square root of fraction numerator R cubed over denominator G M subscript E end fraction end root

(4.5)

สมการ (4.5) เป็นสมการสำหรับหาคาบการโคจรของดาวเทียมรอบโลก และ ถ้าต้องการหาค่าความถี่ของการโคจรรอบโลกใช้สมการ (1.1) $T equals 1 over f$ ดังนั้น

f equals fraction numerator 1 over denominator 2 pi end fraction square root of fraction numerator G M subscript E over denominator R cubed end fraction end root space space

(4.6)

จากสมการ (4.5) ถ้าต้องการเปรียบเทียบคาบและรัศมีการโคจรของดาวเทียมสองดวงรอบโลกหรือดาวเคราะห์ดวงเดียวกันจะได้

open parentheses T subscript 2 over T subscript 1 close parentheses squared equals open parentheses R subscript 2 over R subscript 1 close parentheses cubed space space space

(4.7)

แบบฝึกหัด