สมการของลอการิทึม

สมการของลอการิทึม คือ สมการที่มีพจน์อย่างน้อยหนึ่งพจน์อยู่ในรูปลอการิทึมของตัวแปร เช่น 

1. การแก้สมการลอการิทึม คือการหาคำตอบของสมการลอการิทึมนั่นคือ จำนวนจริงเมื่อนำไปแทนตัวแปรในสมการที่กำหนดให้ แล้วจะได้สมการที่เป็นจริง หรือทุกพจน์ที่เป็น  นั่นมีความหมาย   
   การหาคำตอบของสมการลอการิทึมอาศัยหลักหรือสมบัติดังต่อไปนี้
2. เปลี่ยนรูปให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง กล่าวคือ log_ax = y ก็ต่อเมื่อ x = a^y
3. ใช้คุณสมบัติว่าด้วยการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของฟังก์ชันลอการิทึม  
   ก็ต่อเมื่อ x₁ = x₂ และ x₁ > 0,  x₂ > 0 , a  > 0 และ a 1

หลังจากแก้สมการได้ค่าของตัวแปรแล้ว จะต้องทดสอบค่าที่ได้ว่าเป็นคำตอบหรือไม่
ค่าที่ได้จะเป็นคำตอบ ก็ต่อเมื่อ เมื่อนำไปแทนตัวแปรในสมการที่กำหนดให้แล้ว จะได้ว่าทุกพจน์ในสมการนั้นหาค่าได้

ตัวอย่างที่ 1
จงแก้สมการ log(x² - 2x + 1) = 0

วิธีทำ
จาก log(x² - 2x + 2) = 0

จะได้          x² - 2x + 2 = 10⁰ = 1
               x² - 2x + 1 = 0
              (x - 1) (x – 1) = 0

ดังนั้น         x – 1 = 0
                x = 1

ตรวจคำตอบ
แทน x = 1  ในสมการ x² - x + 2 > 0

• ดังนั้น คำตอบของสมการคือ {1}

ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ
log₂(x) + log₂(x - 3) = 2

วิธีทำ
จาก log₂(x) – log₂(x - 3) = 2

log₂(x)(x - 3) =  log₂2² = log₂4
log₂(x² – 3x) = log₂4
x² – 3x = 4
x² – 3x – 4 = 0
(x – 4)(x + 1) = 0
x = 4 หรือ x = -1

เนื่องจาก เลขหลังล็อกต้องเป็นจำนวนจริงบวก

• ดังนั้น เซตคำตอบของสมการคือ {4}

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกของคำตอบของสมการ
log(9x² – 36) – log(x² – 4) =

วิธีทำ

ตรวจคำตอบ
จากการแทนค่า x ด้วย 3 ในสมการที่กำหนด
ให้ จะได้ว่า 9x² – 36 > 0 และ x² – 4 > 0 และ
log_x 10 = log ₃10 หาค่าได้ แสดงว่า 3 เป็นคำตอบ
จากการแทนค่า x ด้วย -3 ไม่เป็นคำตอบ เนื่องจาก เลขหลังล็อกต้องเป็นจำนวนจริงบวก

• ดังนั้น  เซตคำตอบของสมการคือ {3}

อสมการลอการิทึม

อสมการลอการิทึม คือ อสมการที่มีพจน์บางพจน์อยู่ในรูปลอการิทึม การหาเซตคำตอบของอสมการลอการิทึม อาศัยคุณสมบัติ ดังต่อไปนี้

1. กำหนดให้ a > 0, a 1 และ  เป็นจำนวนจริงบวก
    ก็ต่อเมื่อ 
2. ถ้า  แล้ว  ก็ต่อเมื่อ 
     ก็ต่อเมื่อ  
3. ถ้า แล้ว  ก็ต่อเมื่อ 
    ก็ต่อเมื่อ 
4. 

หมายเหตุ นอกเหนือจากการใช้คุณสมบัติดังกล่าว หาเซตคำตอบแล้ว สิ่งที่ต้องคำนึงถึงอีกประการหนึ่ง ก็คือ ขอบเขตของตัวแปรที่ปรากฏในอสมการนั้น กล่าวคือ
ถ้า a > 0 และ a  1 แล้ว log_ax จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ x > 0

ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของอสมการ
 

วิธีทำ
จาก  
จะได้ว่า  และ  และ 
           
   และ  และ

• ดังนั้น เซตคำตอบคือ {x | 2 < x < 5} = (2, 5)

ตัวอย่างที่ 5
จงหาเซตคำตอบของอสมการ 

วิธีทำ
log₈ (x + 2)(x+9) < log₈8
      (x + 2)(x + 9) < 8
       x² + 11x + 18 < 8
       x² + 11x + 10 < 0
     (x + 10)(x + 1) < 0

• ดังนั้น เซตคำตอบคือ (-2, -1)