ฟังก์ชันลอการิทึม

จากฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งอยู่ในรูปของ $f open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses element of R cross times R to the power of plus space end enclose space y equals a to the power of x comma a greater than 0 comma a not equal to 1 close curly brackets$

จะได้ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันลอการิทึม คือ

begin mathsize 14px style g equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses element of R to the power of plus cross times R space end enclose space x equals a to the power of y comma a greater than 0 comma a not equal to 1 close curly brackets end style

หรือ

begin mathsize 14px style g equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses element of R to the power of plus cross times R space end enclose space y equals log subscript x a comma a greater than 0 comma space a not equal to 1 close curly brackets end style

ข้อสังเกต จากฟังก์ชันลอการิทึมนั้นจะพบว่า a ถูกพิจารณาเป็น 2 กรณี คือ 0 < a < 1 และ a > 1 ซึ่งสรุปคือ

ฟังก์ชันลด 0 < a < 1	ฟังก์ชันเพิ่ม a > 1

1. จากลักษณะของกราฟ จะได้ว่า ขณะที่ x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง ขณะที่ x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น	1. จากลักษณะของกราฟ จะได้ว่า ขณะที่ x เพิ่มขึ้น ค่า y จะเพิ่มขึ้น ขณะที่ x ลดลง ค่า y จะลดลง
2. จากลักษณะของฟังก์ชันลด จะได้ว่า $begin mathsize 10px style x subscript 1 greater than x subscript 2 space ก ็ ต ่ อเม ื่ อ end style$ $begin mathsize 10px style log subscript a x subscript 1 less than log subscript a x subscript 2 end style$ $size 10px x subscript size 10px 1 size 10px less than size 10px x subscript size 10px 2 size 10px space size 10px ก ็ ต ่ อเม ื่ อ$ $begin mathsize 10px style log subscript a x subscript 1 greater than log subscript a x subscript 2 end style$	2. จากลักษณะของฟังก์ชันเพิ่ม จะได้ว่า $begin mathsize 10px style x subscript 1 greater than x subscript 2 space ก ็ ต ่ อเม ื่ อ end style$ $begin mathsize 10px style log subscript a x subscript 1 greater than log subscript a x subscript 2 end style$ $begin mathsize 10px style x subscript 1 less than x subscript 2 space ก ็ ต ่ อเม ื่ อ end style$ $begin mathsize 10px style log subscript a x subscript 1 less than log subscript a x subscript 2 end style$
3. $D subscript g equals R to the power of plus$ และ $R subscript g equals R$
4. กราฟของ $y equals log subscript a x$ ตัดแกน x ที่จุด (0,1) เสมอ
5. จาก $y equals log subscript a x$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้น $x subscript 1 equals x subscript 2$ ก็ต่อเมื่อ $log subscript a x subscript 1 equals log subscript a x subscript 2$

ข้อสังเกตที่สาคัญของทั้งสองฟังก์ชันดังนี้ ฟังก์ชั่นผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กําลัง $y equals 2 to the power of x$ คือ $y equals log subscript 2 x$ ต่อไปเราจะพิจารณาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กําลังที่มีฐานเป็นจํานวนจริงบวกมากกว่าศูนย์และไม่เท่ากับ 1 ของฟังก์ชันเลขชี้กําลัง $y equals a to the power of x$ ซึ่งเราจะเรียกว่า ฟังก์ชันลอการิทึม

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

จากการพิจารณากราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

y equals log subscript a x

เมื่อ

a greater than 1

เราได้ข้อสรุปดังนี้

$y equals log subscript a x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ทุกกราฟผ่านจุด (1, 0)
มีจุดร่วมกัน 1 จุด คือ (1, 0)
$y equals log subscript a x$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก $R to the power of plus$ ทั่วถึง $R$
กราฟของ $y equals log subscript a x$ ไม่ตัดแกน y

ต่อไปจะเป็นการพิจารณากราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

y equals log subscript a x

เมื่อ

0 less than a less than 1

เราได้ข้อสรุป ดังนี้

1. $y equals log subscript a x$ เป็นฟังก์ชันลด

2. ทุกกราฟผ่านจุด (1, 0)

3. มีจุดร่วมกัน 1 จุด คือ (1, 0)

4. $y equals log subscript a x$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก $R to the power of plus$ ทั่วถึง $R$

5. กราฟของ $y equals log subscript a x$ ไม่ตัดแกน y

ข้อสรุปรวมสําหรับฟังก์ชันลอการิทึม $y equals log subscript a x$ ไม่ว่า a จะอยู่ในช่วง $open parentheses 0 comma 1 close parentheses$ หรือ $open parentheses 1 comma infinity close parentheses$ ก็จะมีลักษณะ
ร่วมกันดังนี้

ทุกกราฟผ่านจุด $open parentheses 1 comma 0 close parentheses$
ทุกกราฟไม่ตัดแกน Y
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก $R to the power of plus$ ทั่วถึง $R$

ตัวอย่าง

1. จงเขียน $log subscript 2 128 equals 7$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ
$log subscript 2 128 equals 7 space space space space space space 128 equals 2 to the power of 7$

2. จงเขียน $log subscript 7 space 49 equals 2$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ
$log subscript 7 space 49 equals 2 space space space space space space space 49 equals 7 squared$

3. จงเขียน $log subscript 16 space 4 equals 1 half$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ
$log subscript 16 space 4 equals 1 half space space space space space space space space 4 space equals open parentheses 16 close parentheses to the power of 1 half end exponent$

4. จงเขียน $log subscript 3 space 3 square root of 3 equals 3 over 2$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ
$log subscript 3 space 3 square root of 3 equals 3 over 2 3 square root of 3 equals open parentheses 3 close parentheses to the power of 3 over 2 end exponent$

5. จงเขียน $log subscript 3 space log subscript 2 space 8 equals 1$ ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง

วิธีทำ
$log subscript 3 space log subscript 2 space 8 equals 1 space space space space space space space log subscript 2 space 8 equals 3 to the power of 1 space space space space space space space log subscript 2 space 8 equals 3 space space space space space space space space space space space space space space 8 equals 2 cubed$

จงพิจารณาว่า ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็น ฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด

$y equals log subscript 2 x$
เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม เพราะ a > 0

$y equals log subscript 1 half end subscript x$
เป็น ฟังก์ชันลด เพราะ 0< a < 1

สมบัติลอการิทึม

กำหนดให้ a , c เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เท่ากับ 1 และ x , y เป็นจำนวนจริงบวก

$log subscript a 1 equals 0$
$log subscript a a equals 1$
$log subscript a x to the power of m equals m log subscript a x comma space log subscript a to the power of m end subscript x equals 1 over m log subscript a x comma space log subscript a to the power of n end subscript x to the power of m equals m over n log subscript a x$
$log subscript a x plus log subscript a y equals log subscript a open parentheses x y close parentheses$
$log subscript a x minus log subscript a y equals log subscript a open parentheses x over y close parentheses$
$y to the power of log subscript a x end exponent equals x to the power of log subscript a y end exponent comma a to the power of log subscript a x end exponent equals x$
$log subscript a x equals fraction numerator log subscript c x over denominator log subscript c a end fraction equals 1 over log subscript x equals a$
$log to the power of n subscript a x equals log subscript a x times log subscript a x times horizontal ellipsis times log subscript a x$
$log 5 equals 1 minus log 2$

ตัวอย่าง
ให้ $log subscript 3 M equals 2$ และ $log subscript 3 N equals 5$ จงหา $log subscript 3 M N$

วิธีทำ
จาก $log subscript 3 M equals 2$ จะได้ $M equals 3 squared$
จาก $log subscript 3 N equals 5$ จะได้ $N equals 3 to the power of 5$

ดังนั้น $M N equals 3 squared.3 to the power of 5 equals 3 to the power of 7$
ดังนั้น $log subscript 3 M N equals log subscript 3 3 to the power of 7$
$equals 7 equals 2 plus 5 equals log subscript 3 M plus log subscript 3 N$

ตัวอย่าง จงใช้คุณสมบัติ ฟังชันลอการิทึม ในการหาค่าต่อไปนี้

$1. space log subscript 256 8 equals ? space space space space log subscript 256 8 equals log subscript 2 to the power of 8 end subscript 2 cubed space space space space log subscript a to the power of r end subscript M equals 1 over r log subscript a M comma space r not equal to 0 space space space space log subscript a M to the power of r equals r log subscript a M$
$equals 3 over 8 log subscript 2 2 equals 3 over 8$ เพราะ $log subscript a a equals 1$

$2. space log subscript square root of 6 end subscript 216 equals ? space space space space log subscript 6 to the power of bevelled 1 half end exponent end subscript 6 cubed equals fraction numerator 3 over denominator begin display style bevelled 1 half end style end fraction log subscript 6 6 space space space equals 3 open parentheses 2 close parentheses open parentheses 1 close parentheses equals 62$

ฟังก์ชันลอการิทึมและกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

แบบฝึกหัด