ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ลักษณะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปรเป็นตัวชิ้กำลังและมีฐานเป็นจำนวนบวกที่ไม่เท่ากับ 1 ดังนั้นถ้าให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ f เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะได้ว่า

begin mathsize 14px style f equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses element of R cross times R to the power of plus space end enclose space space y equals a to the power of x comma space a greater than 0 comma space a not equal to 0 close curly brackets end style

พิจารณาค่าของ a ซึ่งเป็นฐาน จะพบว่าค่า a ถูกแบ่งเป็น 2 ช่วงคือ $0 less than a less than 1$ และ $a greater than 1$ จากลักษณะของฐานทำให้ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลถูกแบ่งออก 2 ลักษณะ

ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$	ฟังก์ชันเพิ่ม $a greater than 1$

1. จากลักษณะกราฟ จะเป็นฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า ขณะที่ x มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า y ก็มีค่าลดลง ขณะที่ x มีค่าลดลง ค่า y ก็มีค่าเพิ่มขึ้น	1. จากลักษณะกราฟ จะเป็นฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า ขณะที่ x มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า y ก็มีค่าเพิ่มขึ้น ขณะที่ x มีค่าลดลง ค่า y ก็มีค่าลดลง
2. จากคุณสมบัติของฟังก์ชันลดจะได้ว่า $begin mathsize 14px style x subscript 1 greater than x subscript 2 end style$ ก็ต่อเมื่อ $begin mathsize 14px style a to the power of x subscript 1 end exponent less than a to the power of x subscript 2 end exponent end style$ $begin mathsize 14px style x subscript 1 less than x subscript 2 end style$ ก็ต่อเมื่อ $begin mathsize 14px style a to the power of x subscript 1 end exponent greater than a to the power of x subscript 2 end exponent end style$	2.จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มจะได้ว่า $begin mathsize 14px style x subscript 1 greater than x subscript 2 end style$ ก็ต่อเมื่อ $begin mathsize 12px style a to the power of x subscript 1 end exponent greater than a to the power of x subscript 2 end exponent end style$ $begin mathsize 14px style x subscript 1 less than x subscript 2 end style$ ก็ต่อเมื่อ $begin mathsize 14px style a to the power of x subscript 1 end exponent less than a to the power of x subscript 2 end exponent end style$
3. $D subscript f equals R$ และ $R subscript f equals R to the power of plus$
4. กราฟของฟังก์ชันจะตัดแกน y ที่จุด (0,1) สิ่งที่ควรรู้เนื่องจาก $y equals a to the power of x$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า $x subscript 1 equals x subscript 2$ ก็ต่อเมื่อ $a to the power of x subscript 1 end exponent equals a to the power of x subscript 2 end exponent$

(1) กราฟของฟังก์ชัน

y equals a to the power of x comma space a greater than 0

และ

a not equal to 1

จะผ่านจุด

open parentheses 0 comma 1 close parentheses

เสมอ
(2) กราฟของฟังก์ชัน

y equals a to the power of x comma space a greater than 0

และ

a not equal to 1

จะไม่ตัดแกน

X

(เวลาวาดกราฟ)
(3) ถ้า

0 less than a less than 1

แล้ว

y equals a to the power of x

เป็นฟังก์ชันลด
(4) ถ้า

a greater than 1

แล้ว

y equals a to the power of x

เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
(5) ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน

1 minus 1

จาก

R

ไปทั่วถึง

R to the power of plus

(6) ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน

1 minus 1

จะได้ว่า

a to the power of x equals a to the power of y

ก็ต่อเมื่อ

x equals y

(7)

y equals 1 to the power of x

เป็นฟังก์ชันคงตัว เนื่องจาก

1 to the power of x equals 1

เราจะไม่เรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

การเปรียบเทียบกราฟเมื่อค่า $a$ ต่างกัน

จากทั้ง 2 กรณี จะได้ข้อสรุปดังนี้

กรณีที่ 1

เมื่อ $x less than 0$ กราฟที่มีค่า $a$ มากกว่า จะอยู่ต่ำกว่ากราฟที่มีค่า $a$ น้อยกว่า
หรือกล่าวได้ว่า กราฟของฟังก์ชันลด ค่า $a$ ยิ่งน้อย ยิ่งอยู่ใกล้แกน $Y$ มาก
แต่ที่ $x greater than 0$ จะกลับกัน ดังรูป

กรณีที่ 2

เมื่อ $x greater than 0$ กราฟที่มีค่า $a$ มากกว่า จะอยู่ต่ำกว่ากราฟที่มีค่า $a$ น้อยกว่า หรือกล่าวได้ว่า กราฟของฟังก์ชันเพิ่ม
ค่า $a$ ยิ่งมาก ยิ่งอยู่ใกล้แกน $Y$ มาก
แต่ที่ $x less than 0$ จะกลับกัน ดังรูป

ตัวอย่าง

$y equals 3 to the power of negative x end exponent equals open parentheses 1 third close parentheses to the power of x$ จะมีกราฟเหมือนภาพสะท้อนของ $y equals 3 to the power of x$ เทียบกับแกน Y (มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร)

$y equals 6 to the power of negative x end exponent equals open parentheses 1 over 6 close parentheses to the power of x$ จะมีกราฟเหมือนภาพสะท้อนของ $y equals 6 to the power of x$ เทียบกับแกน Y (มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร)

เพราะว่า $y equals open parentheses 1 third close parentheses to the power of negative x end exponent equals 3 to the power of negative 1 to the power of negative x end exponent end exponent$ ดังนั้น กราฟของ $y equals open parentheses 1 third close parentheses to the power of negative x end exponent$ จะมีกราฟเหมือน $y equals 3 to the power of x$
อีกตัวอย่างด้วยเหตุผลทำนองเดียวกัน

ดังนั้น กราฟของ $y equals a to the power of negative x end exponent$ เมื่อ $0 less than a less than 1$ หรือ $a greater than 1$ จะเป็นภาพสะท้อนของ $y equals a to the power of x$ เทียบกับแกน Y หรือกราฟของ $y equals a to the power of negative x end exponent$ จะเหมือนกับกราฟของ $y equals open parentheses 1 over a close parentheses to the power of x$

กราฟของ $y equals m. a to the power of x$ เมื่อ $m element of right parenthesis R minus open curly brackets 0 close curly brackets$ จะมีลักษณะคล้ายกราฟของ $y equals a to the power of x$
เสมือนเรายืดหรือหดกราฟของ $y equals a to the power of x$ และกราฟจะตัดแกน Y ที่จุด (0, m)

ตัวอย่าง

จะตัดแกน Y ที่จุด (0, 0.3)
จะตัดแกน Y ที่จุด (0, 5)

ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่าสมการดังกล่าวเป็นฟังก์ชันลดหรือฟังก์ชันเพิ่ม

1. $y equals open parentheses 1 fifth close parentheses to the power of x$ ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$
2. $y equals 6 to the power of x$ ฟังก์ชันเพิ่ม a > 1
3. $y equals open parentheses square root of 3 close parentheses to the power of x$ ฟังก์ชันเพิ่ม $a greater than 1$
4. $y equals open parentheses fraction numerator 1 over denominator square root of 5 end fraction close parentheses to the power of x$ ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$
5. $y equals open parentheses 0.7 close parentheses to the power of x$ ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$
6. $y equals open parentheses fraction numerator square root of 2 over denominator 3 end fraction close parentheses to the power of x$ ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$
7. $y equals 5 to the power of negative x end exponent$ ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$
8. $y equals open parentheses fraction numerator 7 over denominator square root of 6 end fraction close parentheses to the power of negative x end exponent$ ฟังก์ชันลด $0 less than a less than 1$

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลในชีวิตประจำวัน

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่มีความสำคัญในวิทยาการด้านต่างๆ โดยสามารถนำความรู้เรื่องฟังก์ชันดังกล่าวไปประยุกต์ในเรื่องที่เกี่ยวกับการเพิ่มหรือลดของสิ่งต่างๆ เช่น ในเรื่องของจำนวนประชากร การแผ่รังสีของสารกัมมันตรังสี อุณภูมิของสารบางชนิด หรือเรื่องที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวัน เช่น การคิดยอดเงินฝาก เป็นต้น

ตัวอย่าง ในชีวิตประจำวัน

แบคทีเรียเป็นสัตว์เซลล์เดียวขยายพันธุ์โดยการแบ่งเซลล์ จากหนึ่งเซลล์เป็นสองเซลล์ จากสองเซลล์เป็นสี่เซลล์ไปเรื่อยๆ การแบ่งเซลล์ของแบคทีเรียแต่ละชนิดจะใช้เวลาและอุณหภูมิที่เหมาะสมต่างๆ กัน เช่น แบททีเรียเอสเคอริเคียโคไล เป็นแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรคท้องร่วง ขยายพันธุ์ในอุณหภูมิที่เหมาะสม 37 องศาเซลเซียส การแบ่งเซลล์แต่ละรุ่นจะใช้เวลาประมาณ 20 นาทีดังนี้

ครั้งที่ 0 จำนวนแบคทีเรีย (เซลล์) 1 = 1
ครั้งที่ 1 จำนวนแบคทีเรีย (เซลล์) 2 = 2
ครั้งที่ 2 จำนวนแบคทีเรีย (เซลล์) 2x2 = 4
ครั้งที่ 3 จำนวนแบคทีเรีย (เซลล์) 2x2x2 = 8
ครั้งที่ 4 จำนวนแบคทีเรีย (เซลล์) 2x2x2x2 = 16
ครั้งที่ n จำนวนแบคทีเรีย (เซลล์) 2x2x2x … x2 = 2ⁿ

จากแบบรูปข้างต้นจะเห็นว่าเมื่อแบคทีเรียแบ่งเซลล์ทุกครั้งจำนวนจะเพิ่มเป็นสองเท่าของจำนวนเดิม เขียนแทนด้วย 2ⁿ

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและกราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

แบบฝึกหัด