การหาพจน์ทั่วไปของ
ลำดับโดยใช้ฟังก์ชันพหุนาม

ทฤษฎีบท 1 (Polynomial Difference Theorem)

ฟังก์ชัน  จะเป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี  ก็ต่อเมื่อ
สำหรับค่า  ที่เป็นจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน ผลต่าง
ของค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงตัวครั้งที่  มีค่าเท่ากัน
ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์และผลต่างของค่าของฟังก์ชัน
ครั้งที่  มีค่าไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง 1 ให้ 

พิจารณาค่าของ  และผลต่างของ  
เมื่อ  ดังนี้
      

จะเห็นว่า ฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2 มีผลต่างครั้งที่สองเป็นค่าคงตัวเท่ากับ 2
ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ และ ผลต่างครั้งที่ 1 มีค่าไม่เท่ากัน

ตัวอย่าง 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ
              

พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลำดับ ดังแผนภาพ

จากแผนภาพ พบว่า ผลต่างครั้งที่หนึ่งเป็นค่าคงตัวที่เท่ากับ 4 ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น พจน์ทั่วไป คือ ฟังก์ชันพหุนามดีกรี 1 นั่นคือ
         
          … (1)
         ... (2)
จากสมการ (1) จะได้ ... (3)
แทนสมการ (3) ใน สมการ (2) จะได้
          
          
แทน  ในสมการ (3) จะได้
          
ดังนั้น พจน์ทั่วไป คือ 

ตัวอย่าง 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ 

วิธีทำ พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในลำดับ ดังแผนภาพ


จากแผนภาพ พบว่า ผลต่างครั้งที่ 2 เป็นค่าคงตัวที่เท่ากับ 2 ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ และผลต่างครั้งที่ 1 มีค่าไม่เท่ากัน ดังนั้น พจน์ทั่วไป คือ ฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2 ในรูป
       

สมการ (2) – สมการ (1) จะได้
       

สมการ (3) – สมการ (1) ได้ 
       

จากสมการ (4) จะได้  
แทนสมการ (6) ในสมการ (5) จะได้  
ดังนั้น    
แทน  ในสมการ (4) จะได้  
แทน  และ  ในสมการ (1)
จะได้     
ดังนั้น พจน์ทั่วไป คือ