ตัวผกผันของความสัมพันธ์และฟังก์ชันจากเซต

ตัวผกผันของความสัมพันธ์

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ $r$ คือความสัมพันธ์ใหม่เกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อับดับที่เป็นสมาชิกของ $r$ เขียนแทนด้วย $r to the power of negative 1 end exponent$

การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง สามารถทำได้ 2 วิธีดังนี้

วิธีที่ 1 สลับที่ $x$ และ $y$ ในคู่อันดับ $open parentheses x comma y close parentheses$ แต่เงื่อนไขเหมือนเดิม
ตัวอย่างเช่น
$r equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space y equals 2 x plus 1 close curly brackets rightwards double arrow r to the power of negative 1 end exponent space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals open curly brackets right enclose open parentheses y comma x close parentheses space end enclose space y equals 2 x plus 1 close curly brackets$
วิธีที่ 2 สลับที่ $x$ และ $y$ ในเงื่อนไข โดยแทนที่ $x$ ด้วย $y$ และแทนที่ $y$ ด้วย $x$ แต่คู่อันดับ $open parentheses x comma y close parentheses$ เหมือนเดิม
ตัวอย่างเช่น
$r equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space y equals 2 x plus 1 close curly brackets rightwards double arrow r to the power of negative 1 end exponent space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space x equals 2 y plus 1 close curly brackets space space space space space space space space space rightwards double arrow r to the power of negative 1 end exponent equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space y fraction numerator x minus 1 over denominator 2 end fraction close curly brackets$

ตัวอย่าง1 จงหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ $r$ พร้อมทั้งโดเมนและเรนจ์ เมื่อกำหนดให้
$r equals open curly brackets open parentheses 1 comma a close parentheses comma open parentheses 2 comma b close parentheses comma open parentheses 3 comma c close parentheses comma open parentheses 4 comma d close parentheses close curly brackets$

วิธีทำ $r to the power of negative 1 end exponent equals open curly brackets open parentheses a comma 1 close parentheses comma open parentheses b comma 2 close parentheses comma open parentheses c comma 3 close parentheses comma open parentheses d comma 4 close parentheses close curly brackets$
$D subscript r to the power of negative 1 end exponent end subscript equals open curly brackets a comma b comma c comma d close curly brackets$ และ $R subscript r to the power of negative 1 end exponent end subscript equals open curly brackets 1 comma 2 comma 3 comma 4 close curly brackets$

ตัวอย่าง2 จงหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ $r equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space y equals square root of x minus 3 end root close curly brackets$

วิธีทำ
จาก $r equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space y equals square root of x minus 3 end root close curly brackets$ จะได้ $r to the power of negative 1 end exponent equals open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses space end enclose space x equals square root of y minus 3 end root close curly brackets$
จัดรูป $x equals square root of y minus 3 end root$ ใหม่ จะได้
$x equals square root of y minus 3 end root x squared equals y minus 3 space semicolon space x greater or equal than 0 y equals x squared space plus 3$

ดังนั้น $blank$

ข้อสังเกต เกี่ยวกับตัวผกผันของความสัมพันธ์
กำหนดให้ $r$ เป็นความสัมพันธ์จากเซต $A$ ไปยังเซต $B$
1. $r to the power of negative 1 end exponent$ เป็นความสัมพันธ์จากเซต $B$ ไปยังเซต $A$
2. $D subscript r equals R subscript r to the power of negative 1 end exponent end subscript$ และ $R subscript r equals D subscript r to the power of negative 1 end exponent end subscript$

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง

ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงฟังก์ชันที่สำคัญซึ่งประกอบด้วย ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปอีกเซตหนึ่ง ฟังก์ชันทั่วถึง และฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ ในกรณีที่ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน เราจะเขียน $open parentheses x comma y close parentheses element of f$ แทนด้วย $y equals f open parentheses x close parentheses$ และเรียก $f open parentheses x close parentheses$ ว่าเป็น ค่าของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ ( $f open parentheses x close parentheses$ อ่านว่า เอฟที่เอกซ์ หรือ เอฟเอกซ์)

$f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไป $B$

นิยาม $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไป $B$ ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต $A$ และเรนจ์เป็นสับเซตของ $B$

$f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไป $B$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

f colon space A rightwards arrow B

ตัวอย่างที่3 กำหนดให้ $A equals open curly brackets 0 comma 1 comma 2 comma 3 comma 4 close curly brackets$ และ $B space equals open curly brackets 4 comma 5 comma 6 comma 7 close curly brackets$
ถ้า $f equals open curly brackets open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma open parentheses 1 comma 4 close parentheses comma open parentheses 2 comma 5 close parentheses comma open parentheses 3 comma 6 close parentheses comma open parentheses 4 comma 5 close parentheses close curly brackets$ แล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไป $B$ หรือไม่

วิธีทำ
จาก $f$ ที่กำหนดให้ จะได้ว่า

1. $f$ เป็นฟังก์ชัน
2. $D subscript r equals open curly brackets 0 comma 1 comma 2 comma 3 comma 4 close curly brackets equals A$
3. $R subscript f equals open curly brackets 4 comma 5 comma 6 close curly brackets subset of B$
ดังนั้น $f colon space A rightwards arrow B$

$f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไปทั่วถึง $B$

นิยาม $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไปทั่วถึง $B$ ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต $A$ และเรนจ์เป็นเซต $B$

$f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไปทั่วถึง $B$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ $A equals open curly brackets 0 comma 1 comma 2 comma 3 comma 4 close curly brackets$ และ $B equals open curly brackets 4 comma 5 comma 6 comma 7 close curly brackets$

ถ้า $f equals open curly brackets open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma open parentheses 1 comma 7 close parentheses comma open parentheses 2 comma 5 close parentheses comma open parentheses 3 comma 5 close parentheses comma open parentheses 4 comma 6 close parentheses close curly brackets$ แล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไปทั่วถึง $B$ หรือไม่

วิธีทำ
จาก $f$ ที่กำหนดให้ จะได้ว่า

1. $f$ เป็นฟังก์ชัน
2. $D subscript r equals open curly brackets 0 comma 1 comma 2 comma 3 comma 4 close curly brackets equals A$
3. $R subscript f equals open curly brackets 4 comma 5 comma 6 comma 7 close curly brackets equals B$

ดังนั้น

$f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก $A$ ไป $B$

นิยาม $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก $A$ ไป $B$ ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันจาก $A$ ไป $B$ ซึ่งถ้า $y element of R subscript f$ แล้ว จะมี $x element of A$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $open parentheses x comma y close parentheses element of f$
หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ต่อเมื่อ สำหรับ $x subscript 1$ และ $x subscript 2$ ใน $A$ ถ้า $f open parentheses x subscript 1 close parentheses equals f open parentheses x subscript 2 close parentheses$ แล้ว $x subscript 1 equals x subscript 2$

$f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก $A$ ไป $B$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

f colon A stack rightwards arrow B with 1 minus 1 on top

ตัวอย่างที่5 กำหนดให้ $f subscript 1 f subscript 2$ และ $f subscript 3$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีความสัมพันธ์ดังแผนภาพต่อไปนี้

จากแผนภาพนั้น เราจะได้ว่า $f subscript 1 comma f subscript 2$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ $f subscript 3$ ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (หรืออาจจะเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าเป็นฟังก์ชันแบบ many-to-one)

ตัวผกผันของความสัมพันธ์และฟังก์ชันจากเซต A ไป B

แบบฝึกหัด